TEXT 2 > " Text1Article ` Text1Heading <P1>Un límite es el valor al que se aproxima una <HOT TARGET=694>función</HOT>, <I>f</I> (<I>x</I>), o una <HOT TARGET=2727>sucesión</HOT>, <I>u<SUB>n</SUB></I>, cuando el valor de la <HOT TARGET=677>variable</HOT>, <I>x</I> ó <I>n</I>, se acerca a un valor particular.</P1><H1>Límites en el infinito</H1><P>Tal vez, el tipo de límite más corrientemente utilizado es el límite de una función o sucesión cuando la variable aumenta sin restricción. Esto se denomina límite cuando la variable tiende a <HOT TARGET=692> infinito</HOT>. Por ejemplo, cuando el valor de <I>x </I>aumenta, el valor de la función <FORMULA><I>f</I> (<I>x</I>) = <I>x</I><SUP>2</SUP></FORMULA> también aumenta. De hecho, a medida que <I>x</I> se aproxima hacia infinito, el valor de la función también se aproxima a infinito. Por ello, el límite de <I>f</I> (<I>x</I>), cuando <I>x</I> tiende al infinito, es infinito. Esto se puede escribir como</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X1B"></PIC></P><P>Consideremos otro ejemplo, el límite de la función</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X2B"></PIC></P><P>A medida que <I>x</I> aumenta, 1/<I>x</I> disminuye. Por ejemplo, <FORMULA><I>x</I> = 5</FORMULA> es mayor que <FORMULA><I>x</I> = 2</FORMULA>, pero <FORMULA><I>f</I> (5) = 1/5</FORMULA> es menor que <FORMULA><I>f</I> (2) = 1/2</FORMULA>. De hecho, a medida que <I>x</I> se aproxima hacia infinito, <I>f</I> (<I>x</I>) se aproxima a cero. El valor de <I>f</I> (<I>x</I>) cuando <I>x</I> es infinito en realidad no existe, porque es imposible dividir un número entre infinito, pero a medida que <I>x</I> se hace más grande, y por ello más cercana a infinito, <I>f</I> (<I>x</I>) se hace más pequeña, y por ello más cercana a cero. Así, el límite de <I>f</I> (<I>x</I>) cuando <I>x</I> se aproxima a infinito es cero, o sea,</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X3B"></PIC></P><P>Considérese la sucesión</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X4B"></PIC></P><P>Esta sucesión se puede resumir dando la fórmula para encontrar el término <I>n-</I>ésimo, <I>u<SUB>n</SUB></I>:</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X5B"></PIC></P><P>El valor de cada término añadido a la sucesión será más próximo a cero que el del término anterior, y, de hecho, el límite de esta sucesión cuando la variable, <I>n</I>, se aproxima a infinito es cero. En otras palabras,</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X6B"></PIC></P><H1>Límites para un valor particular</H1><P>También es posible hallar el límite de una función o sucesión cuando el valor de la variable se aproxima a un valor particular. El límite de una función, <I>f</I> (<I>x</I>), en un valor particular de <I>x</I>, digamos <I>a</I>, es el valor de la función en <I>a</I>, <I>f</I> (<I>a</I>), siempre que la función sea <HOT TARGET=1083>continua</HOT> en <I>a</I>. Por ejemplo, el límite de la función <FORMULA><I>f</I> (<I>x</I>) = <I>x</I><SUP>2</SUP></FORMULA> cuando <I>x</I> se aproxima a 4 es 16 porque</P><DISPMATH><I>f</I> (4) = 4<SUP>2</SUP> = 16</DISPMATH><P>En otras palabras,</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X7B"></PIC></P><P>El límite de una sucesión, <I>u<SUB>n</SUB></I>, cuando <I>n</I> se aproxima a un valor particular, digamos <I>a,</I> es el valor del término <I>a-</I>ésimo de la sucesión. Por ejemplo, el límite de la sucesión de término <I>n</I>-ésimo</P><P><PIC SOURCE="SEQU2X8B"></PIC></P><P>cuando <I>n</I> se aproxima a 6 viene dado por </P><P><PIC SOURCE="SEQU2X9B"></PIC></P><P>Como se ha visto anteriormente, se puede utilizar el límite para expresar el valor de una función en un valor de la variable para el que la función no está definida. Ésta es una de las utilidades más importantes de los límites. Por ejemplo, el valor de la función <FORMULA><I>f</I> (<I>x</I>) = 1/<I>x</I></FORMULA> no está definido para <FORMULA><I>x</I> = 0</FORMULA> debido a que un número no puede dividirse por cero. En cambio, el límite cuando <I>x</I> tiende a cero existe. El límite de <FORMULA><I>f</I> (<I>x</I>) = 1/<I>x</I></FORMULA> cuando <I>x</I> tiende a cero es infinito:</P><P><PIC SOURCE="SEQU2XAB"></PIC></P><H1>La importancia de los límites</H1><P>Los límites son esenciales en la concepción moderna del <HOT TARGET=621>cálculo</HOT> y se utilizan en definiciones básicas de <HOT TARGET=478>diferenciación</HOT> e <HOT TARGET=1604>integración</HOT>. La <HOT TARGET=1236>derivada</HOT> de una función <I>y</I> respecto a <I>x</I> se define como</P><P><PIC SOURCE="SEQU2XBB"></PIC></P><P>La <HOT TARGET=2255>integral</HOT> de una función <I>f</I> (<I>x</I>) con respecto a <I>x</I> se define como </P><P><PIC SOURCE="SEQU2XCB"></PIC></P><TITLE>Límites</TITLE>
