Enciclopedia de la Ciencia 2.0

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Text File | 1998-10-07 | 6KB | 1 lines

TEXT2>èText1Article╚$Text1Heading<P1>La diferenciación es el proceso que permite hallar la tasa de variación de una <HOT TARGET=694>función</HOT> en un punto, y resulta muy útil en la resolución de ciertos tipos de problemas matemáticos. La tasa de cambio de una función en un punto recibe el nombre de derivada de la función. Por ejemplo, si una función representa la posición de un objeto en función del tiempo, la derivada de la función es la velocidad del objeto. Ello es así debido a que la tasa de variación de la posición es la velocidad. Si se dibuja la gráfica de una función, la derivada de la función en un punto será la <HOT TARGET=678>pendiente</HOT> de la tangente a la curva en ese punto.</P1><H1>Cálculo de la pendiente</H1>Para hallar la pendiente de la tangente a la curva <formula>y = x2</formula> en un punto cualquiera (x, y) esboza primero la curva. Sea A el punto (x, y) y sea B un punto sobre la curva un poco más arriba de A. Un pequeño incremento de x puede escribirse como δx y un pequeño incremento de y puede escribirse como δy. Por tanto, B puede definirse como <formula>(x + δx, y + δy)</formula> (ver diagrama 1).<PIC SOURCE="CALC2Y1B"></PIC><CAPH_L>Diagrama 1</CAPH_L>Sin embargo, B está sobre la curva <formula>y = x2</formula>, y por tanto <DISPMATH>y + δy = (x + δx)2</DISPMATH><DISPMATH>= (x + δx)(x + δx)</DISPMATH><DISPMATH>= x2 + 2xδx + δx2</DISPMATH>pero, <formula>y = x2</formula>, entonces<DISPMATH>y + δy = y + 2xδx + δx2</DISPMATH>Así,<DISPMATH>δy = 2xδx + δx2</DISPMATH>A partir del diagrama 1 es fácil hallar la pendiente de la línea AB a partir de la fórmula estándar, es decir<PIC SOURCE="CALC2Y2B"></PIC><HOT TARGET=698>Sustituyendo</HOT> la expresión anterior para δy en esta última resulta<PIC SOURCE="CALC2Y3B"></PIC>Sin embargo, estamos interesados en la pendiente de la tangente en A. Si el punto B se mueve gradualmente sobre la curva hacia A, la pendiente de la línea AB se acercará gradualmente a la pendiente de la tangente en A. En otras palabras, como<PIC SOURCE="CALC2Y4B"></PIC>En el punto A, <formula>δx = 0</formula>, y por lo tanto la pendiente de la tangente a la curva en A es 2x. Por consiguiente, la derivada de x2 es 2x.Este proceso se podría llevar a cabo para cualquier otra función.<H1>Notación</H1>La pendiente de la tangente en el punto A(x, y) se escribe como<PIC SOURCE="CALC2Y5B"></PIC>Esta expresión puede definirse como el <HOT TARGET=693>límite</HOT> cuando δx tiende a cero de la pendiente de AB, es decir <PIC SOURCE="CALC2Y6B"></PIC>La diferenciación es el proceso por el cual se obtiene<PIC SOURCE="CALC2Y7B"></PIC>que recibe el nombre de primera derivada (o, a veces, simplemente la derivada) de y respecto a x. La derivada de y respecto a x puede escribirse también como y′.La primera derivada de una función, f(x), se puede escribir como f′(x) o como<PIC SOURCE="CALC2Y8B"></PIC><H1>Diferenciación de términos polinómicos</H1>Ya se ha visto que la derivada de x2 es 2x. Efectivamente, se puede hallar la primera derivada de xn, donde n es un <HOT TARGET=699>entero</HOT> cualquiera. Si<DISPMATH>y = xn</DISPMATH>entonces<PIC SOURCE="CALC2Y9B"></PIC>Por tanto, si<PIC SOURCE="CALC2YAB"></PIC>y así sucesivamente.Una <HOT TARGET=700>constante</HOT> ante uno de los términos xn (un <HOT TARGET=701>coeficiente</HOT> constante) no se ve afectado por la diferenciación. Así, por ejemplo, si <DISPMATH>y = 5x3</DISPMATH>entonces<PIC SOURCE="CALC2YBB"></PIC>Si embargo, la derivada de un término constante es cero. Un término constante es un término que no varía, y por tanto su tasa de variación será cero. Adviértase que la constante a es igual a ax0, por lo que la derivada es<PIC SOURCE="CALC2YCB"></PIC>Además de los <HOT TARGET=702>polinomios</HOT>, es posible diferenciar otros muchos tipos de funciones.<H1>Diferenciación doble</H1>Es posible diferenciar una función más de una vez. La primera derivada puede diferenciarse para dar lugar a la segunda derivada, que se denota por<PIC SOURCE="CALC2YDB"></PIC>o por f″(x). Por ejemplo, si<DISPMATH>y = 4x3</DISPMATH>entonces<PIC SOURCE="CALC2YEB"></PIC>La diferenciación de la primera derivada da la segunda derivada<PIC SOURCE="CALC2YFB"></PIC><TITLE>Diferenciación</TITLE>