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Lineare Gleichungssysteme/Matrizen/Determinanten

LGS-/Matrix-Fenster oder 8. waagerechtes Symbol oder Taste F8

LCS verfügt über ein eigenes Fenster zur Verarbeitung von linearen Gleichungssystemen, Matrizen und Determinanten. Die max. Größe ist auf 9*9 Matrizen beschränkt.

- Arbeiten im LGS-Fenster (Tastatur)

- Laden-/Speichern von LGS, Matrizen und Determinanten

- Lineare Gleichungssysteme lösen

- Matrix-Operationen

- Determinante bestimmen

- Matrizen bearbeiten


Arbeiten im LGS-Fenster (Tastatur)

Das LGS-Fenster ähnelt einem Rechenblatt, in dem max. 9*9 Matrizen verarbeitet werden können. Für lineare Gleichungssysteme gibt es noch eine Spalte namens b[i] für die rechte Gleichungsseite.

Die Eingabe entspricht in weiten Zügen der Eingabe im Meßwertfenster. Die Eingabe erfolgt oberhalb des Rechenblattes direkt per Tastatur. Man kann aber auch jede Zelle per Doppelklick selektieren und die Eingabe über einen Windows-Dialog abwickeln.

Folgende Tastenkombinationen gelten für die direkte Eingabe :

Backspace-Taste : ein Zeichen rückwärts löschen

ESC-Taste       : Eingabezeile löschen

Enter-Taste     : editierten Wert in Zelle übernehmen

Cursor links    : in X-Spalte wechseln

Cursor rechts   : in Y-Spalte wechseln

Cursor hoch     : eine Zelle nach oben

Cursor tief     : eine Zelle nach unten

Bild hoch-Taste : gehe zu Zeile 1

Bild tief-Taste : gehe zu Zeile 9

Pos 1-Taste     : zum Matrix-Element A[1][1]

Ende-Taste      : zur rechten Gleichungsseite b[i]

Umfangreichere Matrix-Manipulationen finden Sie unter dem Hilfepunkt 'Matrizen bearbeiten'.

- LGS-/Matrix-Hauptmenü

- Matrizen bearbeiten


Laden-/Speichern von LGS, Matrizen und Determinanten

LCS kann sowohl lineare Gleichungssysteme als auch Matrizen/Determinanten laden und speichern. Für TeX können entsprechende Macros erzeugt werden.

1. Laden/Speichern von linearen Gleichungssystemen

Lineare Gleichungssysteme werden als kommagetrennte Zahlen in einem ASCII-File gespeichert. Die Speicherung erfolgt zeilenweise, wobei die rechte Gleichungsseite b[i] als letzte Zahl der Zeile gespeichert wird.

Dateien mit linearen Gleichungssystemen haben die Endung .LGS.

2. Laden/Speichern von Matrizen/Determinanten

Matrizen/Determinanten werden als kommagetrennte Zahlen in einem ASCII-File gespeichert. Die Speicherung erfolgt zeilenweise.

Dateien mit Matrizen/Determinanten haben die Endung .MAT.

- TeX-Support

- Hauptmenü LGS


Lineare Gleichungssysteme lösen

LGS-/Matrix-Fenster

-> Berechnung -> LGS Lösung bestimmen

LCS kann lineare Gleichungssysteme mit bis zu 9 Unbekannten lösen.

Die Eingabe erfolgt zeilenweise, wobei die rechte Gleichungsseite in die Spalte b[i] kommt. Die Spalte b[i] folgt nach der 9. Spalte und ist leicht per Taste Ende zu erreichen.

Beispiel :  5x1 + 3x2 = 27

            2x1 + 6x2 = 30

In Koeffizienten-Schreibweise :

A(1,1)x1 + A(1,2)x2 = b(1)

A(2,1)x1 + A(2,2)x2 = b(2)

Lineares Gleichungssystem berechnen

Die Berechnung des linearen Gleichungssystems erfolgt nach dem Gauss-Eliminationsverfahren. LCS verwendet hier eine etwas modifizierte Variante, die zusätzlich versucht, Nullen von der Hauptdiagonalen zu entfernen.

Lösung nach obigem Beispiel :

x1 = 3

x2 = 4

Die Dimension eines linearen Gleichungssystems wird automatisch bestimmt. Das System orientiert sich an der Besetzung der Zeilen. Im oberen Fall wäre die Dimension 2*2 + b[i]-Vektor. Unterbestimmte LGS werden ignoriert, d.h. wenn jemand im obigen LGS z.B. x3-Koeffizienten mit angibt, so werden diese nicht beachtet.

Hat ein lineares Gleichungssystem keine eindeutigen reelen Lösungen, so wird eine entsprechende Fehlermeldung ausgegeben.

- LGS-Hauptmenü


Matrix-Operationen

LCS bietet eine Reihe von Rechenverfahren für Matrizen an. Matrizen werden wie lineare Gleichungssysteme eingegeben, allerdings bleibt die Spalte b[i] unbenutzt.

Folgende Matrix-Operationen besitzt LCS :

- Matrix transponieren

- Inverse Matrix

- Eigenwerte von Matrizen

- Householder-Transformation

- Addition-/Multiplikationen von Matrizen

- Konditionsmaß nach Hadamard

- LGS-Hauptmenü


Determinante bestimmen

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Determinante bestimmen

LCS ist in der Lage, Determinanten bis zur Größe 9*9 zu bestimmen. Determinanten müssen die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten besitzen, ansonsten wird abgebrochen.

Kleinere Determinanten werden z.B. nach Sarrus bestimmt. Für die höherwertigen Determinanten wird das Gauss-Eliminations-Verfahren angesetzt. Sollten sich Nullen auf der Hauptdiagonalen befinden, so versucht LCS, diese durch elementare Zeilenadditionen zu entfernen. Sollte dies nicht gelingen, so wird abgebrochen.

- LGS-Hauptmenü


Matrizen bearbeiten

LCS kann Matrizen bis zu einer Größe von 9*9 verarbeiten. Zur Bearbeitung stehen 2 Matrizen zur Verfügung: A und B. Die Matrix B dient hauptsächlich zur Zwischensicherung der Matrix A, sowie für Matrix-Additionen und Multiplikationen.

Folgende Bearbeitungsfunktionen bietet LCS :

- Matrix A und LGS löschen

- Matrix B und LGS löschen

- Aktive Zeile entfernen (Cursorzeile)

- Aktive Spalte entfernen (Cursorspalte)

- Gehe zur rechten Gleichungsseite b[i] (Taste Ende)

- Gehe nach Matrix-Element A[1][1]      (Taste Pos1)

- Lege Darstellungsformat für Matrixelement fest

- Kopiere Matrix A nach Matrix B     (Taste F1)

- Kopiere Matrix B nach Matrix A     (Taste F2)

- Vertausche Matrix A und Matrix B   (Taste F3)

- LGS-/Matrix-Hauptmenü


TeX-Support

LGS-Fenster Menü Datei

-> Speicher TeX...

TeX erlaubt die Darstellung sehr komplexer mathematischer Ausdrücke. Das Dumme ist nur, daß es einiges an Aufwand kostet, diese Darstellungen zu erzeugen.

LCS ist in der Lage, Matrizen, Determinanten und ganze lineare Gleichungssysteme im TeX-Format zu erzeugen. Ein Blick in die erzeugte TeX-ASCII-Datei dürfte schnell zeigen, was für einen Tippaufwand man sich erspart hat.

Ausgabetypen:

1. Lineares Gleichungssystem im TeX-Format erzeugen

2. Lösung des LGS im TeX-Format erzeugen

3. Matrix im TeX-Format erzeugen

4. Determinante im TeX-Format erzeugen

Für die Ausgabe wird das aktuelle Gleichungssystem verwendet. Das Zahlenformat wird der Matrix im Fenster entnommen.

Für den Typ 1 und Typ 2 (LGS-Typen) wird zusätzlich der Name der Unbekannten abgefragt. Standardmäßig wird hier 'x' eingespiegelt, aber man kann auch jeden anderen Namen wählen.

Die Datei-Extension für TeX-Dokumente ist .TEX.

- LGS-Hauptmenü


Matrix transponieren

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Matrix transponieren

Eine transponierte Matrix entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten. Aus einem Zeilenvektor wird durch Transposition ein Spaltenvektor.

- LGS-/Matrix-Hauptmenü


Inverse Matrix

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Inverse Matrix

Inverse Matrix: A(-1) = 1/detA * transpon. A-Matrix

Die Berechnung zerstört die Originalmatrix und ersetzt sie durch die inverse Matrix A(-1). Falls Sie die Matrix erhalten möchten, dann sichern Sie die Matrix oder kopieren Sie sie nach Matrix B.

Nicht jede Matrix ist invertierbar (nur wenn det A <> 0). LCS meldet dies, die Originalmatrix bleibt dabei erhalten.

- LGS-/Matrix-Hauptmenü


Eigenwerte von Matrizen

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Eigenwerte von symmetrischen Matrizen

Für eine quadratische (n*n)-Matrix A ist das charakteristische Polynom von A durch

p(Lambda) = det(A - Lambda*I) definiert.

Die Wurzeln von p heißen Eigenwerte der Matrix A.

LCS bestimmt die Eigenwerte einer Matrix mittels der Householder Transformation + QR-Methode. Die Householder-Transformation erzeugt aus der gegebenen Matrix eine tridiagonale Matrix. Aus dieser bestimmt dann die QR-Methode die Eigenwerte der Matrix.

Das Verfahren wird im Buch Numerische Methoden von J. Douglas Faires auf den Seiten 392-407 beschrieben.

Beispiel:

Die Eigenwerte der nachfolgenden tridiagonalen Matrix sollen bestimmt werden:

       3  1  0

A =    1  3  1

       0  1  3

Die QR-Methode approximiert folgende Eigenwerte aus dieser Matrix:

Lambda(1) = 4.4141886

Lambda(2) = 2.9993964

Lambda(3) = 1.5864151

- LGS-/Matrix-Hauptmenü


Householder-Transformation

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Householder-Transformation

Die Householder-Transformation formt Matrizen in tridiagonale Matrizen um. Diese Matrizen werden z.B. für die QR-Methode benötigt. Sie können aber auch in anderen Berechnungen aufgrund ihrer Struktur oft eingesetzt werden.

In LCS ist die Householder-Transformation ein Abfallprodukt aus der Eigenwertbestimmung und hier nochmal separat zugänglich.

- LGS-/Matrix-Fenster


Addition-/Multiplikationen von Matrizen

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Matrizen addieren

Für die Addition werden 2 gleichartige Matrizen benötigt. Stimmen die Matrix-Dimensionen nicht überein, so wird abgebrochen.

Addition: A = A + B

Geben Sie die erste Matrix A im Fenster ein und vertauschen Sie dann die Matrix A und B mittels Taste F3. Geben Sie nun die Matrix B im Fenster ein.

Danach können Sie die beiden Matrizen addieren, das Ergebnis wird im Fenster angezeigt.

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Matrizen multiplizieren

Für die Multiplikation von Matrizen gilt folgende Regel. Die Anzahl der Spalten der Matrix A muß gleich sein der Anzahl der Zeilen der Matrix B, ansonsten wird abgebrochen.

Multiplikation: A = A * B

(m,n)-Matrix A * (n,p)-Matrix B = (m,p)-Matrix C

Achtung:

A * B <> B * A (im allgemeinen ist die Matrix-Multiplikation nicht kommutativ)

Man geht deshalb bei der Eingabe etwas anders vor als bei der Matrix-Addition. Geben Sie zuerst die Matrix B im Fenster ein und vertauschen Sie dann die Matrix A und B mittels Taste F3. Nun geben Sie die Matrix A im Fenster ein.

Danach können Sie die beiden Matrizen multiplizieren und das Ergebnis wird im Fenster angezeigt.

- LGS-/Matrix-Hauptmenü


Konditionsmaß nach Hadamard

LGS-/Matrix-Fenster

Menüpunkt Berechnung -> Hadamardsches Konditionsmaß

Die Kondition ist ein Maß für die numerische Stabilität einer Matrix. Ist die Kondition schlecht, so machen sich bereits kleine Koeffizienten-Änderungen A(i,k) im Ergebnis stark bemerkbar. Die Lösung eines LGS ist also numerisch instabil. Man muß bei diesen Systemen versuchen, durch Nachiteration die Lösung zu verbessern bzw. die Matrix zu normieren.

Konditionsmaß nach Hadamard:

KH > 0.1 bedeutet die Matrix ist gut konditioniert

0.01 <= KH <= 0.1 bedeutet keine genaue Aussage über die Kondition

KH < 0.01 bedeutet schlechte Matrix-Kondition

- LGS-Hauptmenü