ZkouÜkovß pφsemka z lineßrnφ algebry 30.5.2000
Neoficißlnφ p°epis zadßnφ od doktora Ji°φho T∙my. V²sledky jsou tady.
VÜechny sou°adnice jsou vzhledem ke standardnφ bßzi p°φsluÜnΘho vektorovΘho prostoru.
1. Nech¥ P = < (1,1,1,1); (1,-1,-1,-1); (1,2,2,0) > je podprostorem euklidovskΘho prostoru R4 se standardnφm skalßrnφm souΦinem. Najd∞te ortogonßlnφ projekci vektoru (-1,-1,1,1) na podprostor P.
(3 body)
2. Nech¥ g je symetrickß bilineßrnφ forma na Z53, kterß urΦuje kvadratickou formu
g2 (x,y,z) = x2 + 4xy + xz + 3y2 + 2yz + z2
Najd∞te n∞jakou bßzi, v∙Φi nφ₧ mß bilineßrnφ forma g diagonßlnφ matici.
(3 body)
3. Najd∞te vÜechna reßlnß Φφsla a, pro n∞₧ je matice
| 2 |
0 |
0 |
0 |
3a |
| 4 |
9 - a |
a2 |
7 |
5a + 2 |
| a3 |
6 |
1 - 2a |
6 |
a + 1 |
| a - 1 |
a + 1 |
0 |
a + 1 |
2 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
singulßrnφ.
(3 body)
4. Nech¥ A je operßtor rotace kolem osy danΘ vektorem (1,0,1) o ·hel pφ/2 v kladnΘm sm∞ru a B je rotace kolem osy danΘ vektorem (0,0,1) o ·hel pφ/2 rovn∞₧ v kladnΘm sm∞ru. Pomocφ poΦφtßnφ s maticemi i s kvaterniony urΦete osu rotace, cos fφ ·hlu otoΦenφ fφ rotace AB a bßzi euklidovskΘho prostoru R3, v∙Φi nφ₧ mß slo₧en² operßtor AB matici
| 1 |
0 |
0 |
| 0 |
cos fφ |
-sin fφ |
| 0 |
sin fφ |
cos fφ |
(5 bod∙ za maticov² v²poΦet + 1 bod za kvaternionov² v²poΦet)
5. Zformulujte a doka₧te v∞tu, kterß ospravedl≥uje metodu v²poΦtu inverznφ matice pomocφ elementßrnφch transformacφ.
(4 body)
6. Definujte vlastnφ Φφslo a vlastnφ vektor lineßrnφho operßtoru na obecnΘm vektorovΘm prostoru. Zformulujte a doka₧te v∞tu o existenci vlastnφch Φφsel lineßrnφho operßtoru na vektorovΘm prostoru nad t∞lesem komplexnφch Φφsel.
(6 bod∙)
Na pφsemku bylo 105 minut. Nutnou podmφnkou slo₧enφ zkouÜky je vφce ne₧ polovina (tj. min. 6 bod∙) z poslednφch dvou teoretick²ch p°φklad∙.
Pokud se vßm n∞co nezdß, poÜlete e-mail autorovi strßnky nebo autorovi zadßnφ.
M∙₧ete se vrßtit zp∞t na homepage anebo tam, odkud jste p°iÜli.