D∙kaz AG nerovnosti
Tahle strßnka je zajφmavß ze dvou d∙vod∙. Nejenom, ₧e znalost tΘto v∞ty se m∙₧e hodit, ale v inkriminovanΘm d∙kaze je takovΘ mno₧stvφ "vychytßvek", ₧e je u₧iteΦnΘ si ho alespo≥ p°eΦφst. Mimochodem je to m∙j prvnφ dvoustrßnkov² d∙kaz na MFF. Tak₧e se do toho pus¥me:
AG nerovnostφ naz²vßme v∞tu o tom, ₧e aritmetick² pr∙m∞r je v₧dy v∞tÜφ nebo roven pr∙m∞ru geometrickΘmu. Chceme tedy dokßzat, ₧e pro jakoukoli koneΦnou posloupnost nezßporn²ch (!) reßln²ch Φφsel platφ:
Pro n=1 je d∙kaz trivißlnφ. V pozd∞jÜφch ·vahßch pou₧ijeme i poznatek, ₧e tato nerovnost platφ i pro n=2. Tedy
Pou₧ijeme nestandardnφ zp∙sob d∙kazu matematickou indukcφ. Mßme ji₧ d∙kaz pro n=1 (krok 1). Te∩ dokß₧eme, ₧e pokud nerovnost platφ pro n∞jakΘ obecnΘ n, pak platφ i pro 2n (krok 2). Pozd∞ji pak dokß₧eme, ₧e pokud nerovnost platφ pro n, pak platφ i pro n-1 (krok 3). Tφm bude d∙kaz hotov. Nynφ mßme tedy dokßzat implikaci (1)
LibovolnΘ reßlnΘ Φφslo lze vyjßd°it jako aritmetick² pr∙m∞r dvou jin²ch (blφ₧e neurΦen²ch). M∙₧eme tedy definovat Φleny vstupnφ posloupnosti takto:
V²raz na levΘ stran∞ implikace (1) te∩ p°epφÜeme do tvaru
Mßme-li dokßzßn poznatek, ₧e AG nerovnost platφ pro n=2, m∙₧eme s vyu₧itφm tranzitivity nerovnostφ upravit pravou stranu takto
Uva₧ujme nynφ posloupnost dk, definovanou nßsledovn∞
Potom platφ vztahy
Zφskanou nerovnost m∙₧eme tedy zapsat ve tvaru
Co₧ je p°esn∞ AG nerovnost pro 2n. Implikace (1) tedy platφ. Poslednφm krokem d∙kazu je d∙kaz implikace (2). Tedy
Sm∞rem zleva doprava vlastn∞ z posloupnosti ubφrßme poslednφ Φlen. Proto m∙₧eme v p°edpokladu implikace dosadit za poslednφ Φlen posloupnosti pevnΘ Φφslo. Pro nßÜ d∙kaz si tedy zvolφme aritmetick² pr∙m∞r vÜech p°edchozφch Φlen∙. Neboli
Po dosazenφ nßsleduje n∞kolik ·prav,
z nich₧ je patrn² d∙vod volby an. M∙₧eme tedy psßt
Obdr₧eli jsme AG nerovnost pro n-1. Tφm je d∙kaz proveden pro libovolnou vstupnφ posloupnost.
Special thanx goes to LuboÜ Pick. VÜechny vzorce z tΘhle strßnky jsou zazipovanΘ tady.
Pokud se vßm n∞co nezdß, poÜlete e-mail autorovi strßnky.
M∙₧ete se vrßtit zp∞t na homepage anebo tam, odkud jste p°iÜli.