Maßstabsänderung von Drachen

Wenn man einen gut dimensionierten Drachen in einem anderen Maßstab bauen möchte, multipliziert man üblicherweise alle Maße mit einem Maßstabsfaktor k.

Gilt die Maßstabsänderung auch für das Gestänge ?

Dieser Frage soll hier mathematisch nachgegangen werden. Zunächst einige Definitionen, damit wir wissen von was wir reden:

x/y = x geteilt durch y ; x^3 = x hoch 3 ; ~ proportional zu
Mit k werden alle um den Maßstabsfaktor k geänderten Größen indiziert.

Kraft                            F          Einheit N
Fläche                           A          Einheit m^2
Biegemoment                      M          Einheit Nm
Trägheitsmoment                  J          Einheit m^4
Konstante  Pi=3,14
außerer Durchmesser der Rohres   D          Einheit   m
innerer Durchmesser des Rohres   d          Einheit   m
Länge des Stabes                 L          Einheit   m
Elastizitätsmodul des verwendeten Werkstoffes  E   Einheit N/(m^2)

Wenn man das Original mit dem Maßstabsfaktor k multipliziert, ändern sich die Größen folgendermaßen.

                 Original    Maßstab k
----------------------------------------
Länge            l           lk=l*k
Fläche           A~l^2       Ak=F*k^2
Kräfte           F~l^2       Fk=F*k^2
Drehmomente      M~F*L       Mk=M*k^3
Durchbiegung     x           xk=x*k
Trägheitsmoment  J           Jk=?
----------------------------------------

Die Durchbiegung x=F*L^3/(3*E*J) des einseitig eingespannten Stabes ist um so kleiner, je größer das Trägheitsmoment J ist. Mit dem Biegemoment M ist die Durchbiegung f=M*L^2/(3*E*J) . Die Trägheitsmomente sind folgendermaßen definiert:

Trägheitsmoment Rohr:     Jr=Pi/64*(D^4-d^4)
Trägheitsmoment Vollstab: Jv=Pi/64*D^4
Die Durchbiegung soll proportional zum Maßstabsfaktor k sein. 
xk = x*k
   = F*L^3/(3*E*J) * k
erweitern mit k^4 ergibt
   = F*k^2*L^3*k^2 / (3*E*J^4*k^4) * k = Fk*Lk^3/(3*E*J*k^4) 
deshalb gilt für das Trägheitsmoment des geänderten Gestänges
Jk = J*k^4 = Pi/64*D^4*k^4 = Pi/64*(D*k)^4

Ergebnis:
Wenn also der Durchmeser des Stabes (Vollstab) ebenfalls um den Faktor k verändert wird, erhält man die gleiche Durchbiegung.
Bei Verwendung von Rohren muss entsprechend das TrΣgheitsmoment in der 4 Potenz des Ma▀stabfaktors verΣndert werden (siehe letzte Gleichung 1. Gleichheitszeichen).
Natürlich läßt sich der errechnete Wert meistens nicht realisieren, so daß auf den nächst kleineren oder größeren Durchmesser übergegangen werden muß.
Um geeignete StΣbe zu finden, kann man bei Simo Salane nachschauen. Tabelle fⁿr Durchmesser und Gewicht von CFK-StΣben. Balkendiagramm der relativen Steifigkeit von StΣben Bezugswert ist ein Excel-Stab E6. Kreisdiagramm der relativen Steifigkeit .
Weiterhin gibt es eine Liste ⁿber
Steifigkeit und Gewicht von StΣben fⁿr Sportdrachen. Drachenmagazin Heft 3 1994. Seite 20

Wenn Sie Fragen oder Anregungen zu dieser Seite haben, wenden Sie sich via eMail an vogehe@etinovell.etec.uni-karlsruhe.de
(letzte Änderung dieser Datei vergroes.htm 26.05.97)