Wie hoch fliegt der Drache ?

Diese oder ähnliche Fragen stellen sich bei jeder Neukonstruktion, insbesondere, wenn keine Bauanleitung vorliegt. So war es auch bei mir als ich im Mai 1996 einen 4-zelligen Crossdeck bauen wollte. Diese Frage kann in der Theorie ganz schön kompliziert werden. Genau läßt sie sich nur mit sehr großem Rechenaufwand beantworten. Wenn man jedoch einige vereinfachende Annahmen trifft, wird das Problem einigermaßen beherrschbar.

Die Rechnung soll folgende Fragestellungen näher beleuchten:

• Bei welchem Anstellwinkel des Drachens stellt sich in Funktion des Waagepunktes ein Gleichgewichtszustand ein ?
• Wie gross ist der sich einstellende Leinenwinkel ?
• Welche Flughöhe ergibt sich bei einer 100 m langen Leine ?

• Auftriebskraft Fa=roh*A*v^2*ca(alpha)
• Widerstandskraft Fw=roh*A*v^2*cw(alpha)
• Lage des Angriffspunktes für diese Kräfte.

Die Lage des Angriffspunktes für die Auftriebs- und Widerstandskraft verändern sich in der Praxis ebenfalls als Funktion des Anstellwinkels. Bei der hier durchgefühten Rechnung wird diese Abhängigkeit jedoch nicht berücksichtigt. Es wurde vielmehr angenommen, dass die Windkräfte Fa und Fw im Flächenschwerpunkt, der aus der Geometrie berechenbar ist, angreifen. Flächen- und Massenschwerpunkt sind in der Regel nicht identisch.

Die Skizze zeigt den Modelldrachen von der Seite mit den angreifenden Kräften. Dabei sind:

• FS Flächenschwerpunkt des Segels
• MS Massenschwerpunkt Gestänge + Segel
• WP Waagepunkt
• alpha Anstellwinkel gegen die Horizontale
• Lw Leinenwinkel
• Fa Auftriebskraft
• Fw Widerstandskraft
• G Gewichtskraft Gestänge + Segel
• Z Zugkraft in der Leine

Das Bild zeigt den Verlauf von Auftriebsbeiwert ca(alpha) und Widerstandsbeiwert cw(alpha) sowie die Gleitzahl ca/cw in Abhängigkeit des Anstellwinkels alpha.

Voraussetzungen:

• Leine hat keinen Luftwiderstand und ist gewichtslos
• Auftriebs- und Widerstandskraft greifen im Flächenschwerpunkt an
• Windgeschwindigkeit ist konstant in diesem Bsp. v=25 km/h
• Seitenstabilität ist gewährleistet
• An dem Drache ist kein Schwanz vorhanden
• Waageschenkel bleiben bei jedem Waagepunkt gespannt
• Segelfläche wölbt sich nicht

• Windgeschwindigkeit v=25 km/h
• Dichte der Luft 1,29 kg/m^3
• Querspreize 0,9 m -> 63 Gramm
• Längsspreize 1 m -> 70 Gramm
• Kreuzungspunkt Längs- Querspreize teilt die Längsspreize 25 cm/75 cm
• Segelfläche A=0.45 m^2 -> 23 Gramm
• Leinenlänge 100 m
• Erdbeschleunigung g=9.81 m/s^2 (1N=1kg/m*s^2)

Rechenweg:

• Der Flächenschwerpunkt wird bestimmt
• Berechnung der Massenschwerpunkte für Gestänge und Segel
• Aus der Gesamtmasse und den Einzelschwerpunkten kann der Massenschwerpunkt für Gestänge und Segel ermittelt werden.
• Die im Massenschwerpunkt angreifende Gewichtskraft erhält man aus der Masse und der Erdbeschleunigung
• Aus den Abmessungen werden die Winkel und Abstände zwischen den Schwerpunkten und dem variablen Waagepunkt ermittelt
• Aufstellung der Drehmomentengleichung (Auftrieb + ; Gewichtskraft - ; Widerstand -)
• Durch Lösen der impliziten Drehmomentengleichung (Summe aller Momente = Null) erhält man nach längerer numerischer Rechnung den heissbegehrten Anstellwinkel alpha
• Um die bei manchen Waageeinstellungen nicht existierenden Lösungen auszuschließen, sind einige mathematische Glimmzüge notwendig.
• Zum Lösen dieser Gleichung wurde MatCad 6.0 unter Windows benutzt. Ein 486/66 MHz PC benötigt für die Berechnung der 1200 verschiedenen Waagepunkte ca. 5 min Rechenzeit.
• Plausibilitätsprüfung der ermittelten Lösungen. Daraus resultiert das Lösungsgebiet
• Mit dem nunmehr bekannten Anstellwinkel alpha können die Auftriebskraft und die Widerstandskraft ermittelt werden.
• Daraus kann das Verhältnis lift/drag=(Auftrieb-Gewicht)/Widerstandskraft gebildet werden.
• Aus dem arcustangens( lift/drag ) erhält man den Leinenwinkel
• Die Zugkraft in der Leine ergibt sich aus der geometrischen Summe der Kräfte (Auftriebskraft-Gewichtskraft) und Widerstandskraft
• Die Flughöhe ergibt sich aus dem Leinenwinkel und Leinenlänge.

Die in der unteren Ebene dargestellten Zahlen sind die Koordinaten senkrecht (30 Punkte) und parallel (40 Punkte) zu der Drachenfläche. Nach oben in die Z-Richtung sind die interessierenden Grössen aufgetragen. Zu jedem Kreuzungspunkt auf dem Gebirge gehört ein Waagepunkt in der darunterliegenden Ebene. Je nach Lage des Gebirges wurde das Bild um 180 Grad gedreht, damit man besser auf die Flächen schauen kann. Leider kann das Rechenprogramm bei der 3-D Darstellung keine absoluten Koordinaten darstellen so dass man sich mit den Zahlen 0-30 und 0-40 begnügen muss. Aus dem zweiten Bild lassen sich aber die absoluten Maße ablesen. Die gepunkteten Linien deuten die Drachenfläche an.

Hinter den Spitzen an der hinteren Ecke ist kein stabiler Flug möglich.
Wenn die Waagepunkte auf einer fast geraden Linie senkrecht zur Drachenfläche liegen ändert sich dabei der Anstellwinkel nicht. Der Anstellwinkel ist dabei in diesem Beispiel ca. 20 Grad.

Aus dem Verhältnis (Auftriebkraft-Gewichtskraft)/Widerstandskraft kann man beim Maximum der Gleitzahl bei 2,5 sehr gut die günstigen Waageeinstellungen ablesen. Sie liegen fast auf einer Linie. Bei kurzen Waageschenkeln in der Nähe des Drachens erreicht man fast die gleiche Flughöhe - der Punkt muß aber sehr genau gewählt werden.
Weiterhin kann man erkennen, daß bei langen Waageschenkel ein wesentlich größerer Stabilitätsbereich erreicht wird als wenn man die Waageschenkel kurz wählt

Als maximaler Leinenwinkel kann man ca. 70 Grad ablesen.

Die Zugkraft in der Leine (angegeben in N) bleibt nahezu konstant, wenn die Waageeinstellungen auf der oben beschriebenen Linie liegen. Interessanterweise ist die Zugkraft auf der beschriebene Linie nicht am grössten. Bei üblichen Waageeinstellungen- die in der Regel unterhalb der optimalen Linie liegen- würde sich für dieses Beispiel eine Zugkraft von ca. 4 N ergeben. Wenn der Drache steiler gestellt wird, erhöht sich die Zugkraft.

Das Ergebnis für die Flughöhe ist zu dem Bild der Leinenwinkel ähnlich. Bei großen Leinenwinkeln ergibt sich auch eine große Flughöhe.

Oft findet man in Bauanleitungen für die Einstellung der Waage den praktischen Hinweis, den Drachen an der Waage aufzuhängen und dann die Waage so einzustellen, daß die frihängende Drachenfläche eine angegebene Neigung gegenüber der Horizontalen hat. Dieser Winkel mit negativen Vorzeichen ist in diesem Bild dargestellt.

Zusammenfassung

• Je näher der Waagepunkt am Drachen gewählt wird, desto genauer muß die Waage eingestellt werden.
• Es gibt eine nahezu senkrecht zm Drachen verlaufende Linie auf der optimales Flugverhalten zu erwarten ist.
• Die Ergebnisse sind ausserdem noch von der Windgeschwindigkeit abhängig. Bei kleinerer Windgeschwindigkeit reduziert sich die Flughöhe und der stabile Flugbereich engt sich ein.
• Bei Verwendung eines anderen Gestänges oder Veränderung der Geometrie werden sich die Kurven ändern.

• [1] Wolfgang Bürger: Der paradoxe Eierkocher. Physikalische Spielereien aus Professor Bürgers Kabinett. (S 208 bis 221) Birkhäuser Verlag 1995 ISBN 3-7643-5105-5
• [2] Drachen und 1/2*roh*v^2 Drachenmagazin 1996 Heft 5, S. 29-31
• [3] Aerodynamik und Flugverhalten. A.C. Kermode 1972 (Mechanics of Flight) Motor buch Verlag ISBN 3-613-01485-8
• [4] Wolfgang Bürger: ??? Drachenmagazin 1996 Heft ?, S.