последовательностью трех действий (второе и третье действия могут повторяться несколько раз):

1) объявить одно из исходной пары чисел делимым, а второе — делителем,

2) вычислить остаток отделения (при целочисленном частном),

3) если остаток равен нулю, то приравнять НОД делителю, иначе объявить делитель делимым, а остаток делителем и вернуться к выполнению второго действия.

Алгоритм начинается с задачи не только в смысле его назначения, но и в смысле его построения. Необходимым условием для построения алгоритма является корректно поставленная задача, определяющая как совокупность исходных данных, так и требования к совокупности возможных результатов.

В данном случае исходными данными для алгоритма является пара положительных целых чисел. Что касается совокупности возможных результатов, то для данной задачи существует единственное положительное целое число, удовлетворяющее поставленным условиям. Простыми рассуждениями можно показать, что НОД пары целых положительных чисел не превышает минимального числа из этой пары и не может быть меньше единицы.

Если же существуют ситуации, когда при некоторых значениях исходных данных решение задачи невозможно, то алгоритм должен давать ответ об отсутствии решения. Алгоритм Евклида — это типичный пример приводящих к искомому результату циклических действий, в состав которых кроме правил промежуточных вычислений входят правило начала цикла (в нашем примере первое действие) и правило его окончания (в нашем примере третье действие). Кроме того алгоритм характеризуется правилами извлечения результата из данных, получаемых при промежуточных вычислениях. В заключение описания необходимо обратить внимание читателя на то, что алгоритм (в отличие от вычислительной процедуры) должен обеспечивать получение решения в результате конечного количества действий.

Приведенная последовательность действий не является алгоритмом по отношению к математическим объектам, не имеющим общей меры (например, длин стороны квадрата и его диагонали), потому что она никогда не закончится.

Возможно некоторым читателям покажется неудовлетворительным объяснение понятия алгоритма на примере вычислительной задачи. Ведь в настоящее время применение компьютеров значительно расширилось и при их помощи решаются задачи казалось бы не имеющие отношения к вычислениям. Но математики показали эквивалентность (равноценность) понятий алгоритмической разрешимости некоторой задачи и вычислимости для арифметической задачи, к которой всегда может быть сведена первая. Для решения какой бы то ни было задачи на компьютере она должна быть сведена к вычислительной задаче того или иного вида. Эта процедура перехода от первоначально поставленной задачи к вторичной, вычислительной задаче называется построением математической модели.