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|000014d0| 20 76 65 72 69 66 69 65 | 64 20 62 79 20 77 72 69 | verifie|d by wri|
|000014e0| 74 69 6e 67 20 74 68 65 | 20 69 6e 74 65 67 72 61 |ting the| integra|
|000014f0| 6c 20 61 73 20 61 20 73 | 75 6d 20 6f 66 20 73 65 |l as a s|um of se|
|00001500| 76 65 72 61 6c 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 73 0d |veral in|tegrals.|
|00001510| 0a 77 69 74 68 20 74 68 | 65 20 61 62 73 6f 6c 75 |.with th|e absolu|
|00001520| 74 65 2d 76 61 6c 75 65 | 20 73 69 67 6e 20 72 65 |te-value| sign re|
|00001530| 6d 6f 76 65 64 2e 0d 0a | 0d 0a 5c 69 74 65 6d 20 |moved...|..\item |
|00001540| 20 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 53 6f 6c 76 65 20 2b | \textsf|{Solve +|
|00001550| 20 45 78 61 63 74 7d 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 78 5e | Exact} |..\[..x^|
|00001560| 7b 32 7d 2d 31 3e 30 25 | 0d 0a 5c 74 65 78 74 7b |{2}-1>0%|..\text{|
|00001570| 2c 20 53 6f 6c 75 74 69 | 6f 6e 20 69 73 3a 20 7d |, Soluti|on is: }|
|00001580| 5c 6c 65 66 74 5c 7b 20 | 78 3c 2d 31 5c 72 69 67 |\left\{ |x<-1\rig|
|00001590| 68 74 5c 7d 20 2c 5c 61 | 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 |ht\} ,\a|llowbrea|
|000015a0| 6b 20 5c 6c 65 66 74 5c | 7b 20 31 3c 78 5c 72 69 |k \left\|{ 1<x\ri|
|000015b0| 67 68 74 5c 7d 20 0d 0a | 5c 5d 0d 0a 49 74 20 66 |ght\} ..|\]..It f|
|000015c0| 6f 6c 6c 6f 77 73 20 74 | 68 61 74 20 24 5c 6c 65 |ollows t|hat $\le|
|000015d0| 66 74 7c 20 78 5e 7b 32 | 7d 2d 31 5c 72 69 67 68 |ft| x^{2|}-1\righ|
|000015e0| 74 7c 20 3d 78 5e 7b 32 | 7d 2d 31 24 20 66 6f 72 |t| =x^{2|}-1$ for|
|000015f0| 20 24 78 3c 2d 31 24 20 | 6f 72 20 24 31 3c 78 2c | $x<-1$ |or $1<x,|
|00001600| 24 20 61 6e 64 20 24 25 | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 7c |$ and $%|..\left||
|00001610| 20 78 5e 7b 32 7d 2d 31 | 5c 72 69 67 68 74 7c 20 | x^{2}-1|\right| |
|00001620| 3d 2d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 78 5e 7b 32 7d 2d 31 |=-\left(| x^{2}-1|
|00001630| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 3d 31 2d 78 5e 7b 32 7d |\right) |=1-x^{2}|
|00001640| 24 20 66 6f 72 20 24 2d | 31 3c 78 3c 31 24 2e 20 |$ for $-|1<x<1$. |
|00001650| 54 68 75 73 2c 0d 0a 79 | 6f 75 20 63 61 6e 20 77 |Thus,..y|ou can w|
|00001660| 72 69 74 65 20 74 68 65 | 20 69 6e 74 65 67 72 61 |rite the| integra|
|00001670| 6c 20 61 73 20 74 68 65 | 20 73 75 6d 20 6f 66 20 |l as the| sum of |
|00001680| 74 68 65 20 66 6f 6c 6c | 6f 77 69 6e 67 20 74 68 |the foll|owing th|
|00001690| 72 65 65 20 69 6e 74 65 | 67 72 61 6c 73 3a 20 0d |ree inte|grals: .|
|000016a0| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 69 6e | 74 5f 7b 2d 32 7d 5e 7b |.\[..\in|t_{-2}^{|
|000016b0| 32 7d 5c 6c 65 66 74 7c | 20 78 5e 7b 32 7d 2d 31 |2}\left|| x^{2}-1|
|000016c0| 5c 72 69 67 68 74 7c 20 | 64 78 3d 5c 69 6e 74 5f |\right| |dx=\int_|
|000016d0| 7b 2d 32 7d 5e 7b 2d 31 | 7d 5c 6c 65 66 74 28 20 |{-2}^{-1|}\left( |
|000016e0| 78 5e 7b 32 7d 2d 31 5c | 72 69 67 68 74 29 0d 0a |x^{2}-1\|right)..|
|000016f0| 64 78 2b 5c 69 6e 74 5f | 7b 2d 31 7d 5e 7b 31 7d |dx+\int_|{-1}^{1}|
|00001700| 5c 6c 65 66 74 28 20 31 | 2d 78 5e 7b 32 7d 5c 72 |\left( 1|-x^{2}\r|
|00001710| 69 67 68 74 29 20 64 78 | 2b 5c 69 6e 74 5f 7b 31 |ight) dx|+\int_{1|
|00001720| 7d 5e 7b 32 7d 5c 6c 65 | 66 74 28 20 78 5e 7b 32 |}^{2}\le|ft( x^{2|
|00001730| 7d 2d 31 5c 72 69 67 68 | 74 29 0d 0a 64 78 20 0d |}-1\righ|t)..dx .|
|00001740| 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a 5c | 69 74 65 6d 20 20 5c 74 |.\]....\|item \t|
|00001750| 65 78 74 73 66 7b 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 7d 20 |extsf{Ev|aluate} |
|00001760| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 69 | 6e 74 5f 7b 2d 32 7d 5e |..\[..\i|nt_{-2}^|
|00001770| 7b 2d 31 7d 5c 6c 65 66 | 74 28 20 78 5e 7b 32 7d |{-1}\lef|t( x^{2}|
|00001780| 2d 31 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 64 78 2b 5c 69 6e |-1\right|) dx+\in|
|00001790| 74 5f 7b 2d 31 7d 5e 7b | 31 7d 5c 6c 65 66 74 28 |t_{-1}^{|1}\left(|
|000017a0| 20 31 2d 78 5e 7b 32 7d | 5c 72 69 67 68 74 29 0d | 1-x^{2}|\right).|
|000017b0| 0a 64 78 2b 5c 69 6e 74 | 5f 7b 31 7d 5e 7b 32 7d |.dx+\int|_{1}^{2}|
|000017c0| 5c 6c 65 66 74 28 20 78 | 5e 7b 32 7d 2d 31 5c 72 |\left( x|^{2}-1\r|
|000017d0| 69 67 68 74 29 20 64 78 | 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 |ight) dx|=\allowb|
|000017e0| 72 65 61 6b 20 34 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 5c 6d 65 |reak 4 .|.\]..\me|
|000017f0| 64 73 6b 69 70 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 69 74 65 6d |dskip..\|end{item|
|00001800| 69 7a 65 7d 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 78 61 6d 70 |ize}..\e|nd{examp|
|00001810| 6c 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 65 78 |le}....\|begin{ex|
|00001820| 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a | 53 75 70 70 6f 73 65 20 |ample}..|Suppose |
|00001830| 74 68 61 74 20 24 66 24 | 20 69 73 20 64 65 66 69 |that $f$| is defi|
|00001840| 6e 65 64 20 70 69 65 63 | 65 77 69 73 65 20 62 79 |ned piec|ewise by|
|00001850| 20 74 68 65 20 65 78 70 | 72 65 73 73 69 6f 6e 20 | the exp|ression |
|00001860| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 66 28 | 78 29 3d 5c 6c 65 66 74 |..\[..f(|x)=\left|
|00001870| 5c 7b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |\{ ..\be|gin{arra|
|00001880| 79 7d 7b 6c 6c 6c 7d 0d | 0a 78 5e 7b 32 7d 20 26 |y}{lll}.|.x^{2} &|
|00001890| 20 5c 74 65 78 74 7b 69 | 66 7d 20 26 20 78 3c 30 | \text{i|f} & x<0|
|000018a0| 20 5c 5c 20 0d 0a 78 20 | 26 20 5c 74 65 78 74 7b | \\ ..x |& \text{|
|000018b0| 69 66 7d 20 26 20 78 5c | 6c 65 71 20 30 0d 0a 5c |if} & x\|leq 0..\|
|000018c0| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|000018d0| 68 74 2e 20 0d 0a 5c 5d | 0d 0a 44 69 72 65 63 74 |ht. ..\]|..Direct|
|000018e0| 20 65 76 61 6c 75 61 74 | 69 6f 6e 20 6f 66 20 74 | evaluat|ion of t|
|000018f0| 68 65 20 69 6e 74 65 67 | 72 61 6c 20 24 5c 69 6e |he integ|ral $\in|
|00001900| 74 5f 7b 2d 32 7d 5e 7b | 33 7d 66 28 78 29 64 78 |t_{-2}^{|3}f(x)dx|
|00001910| 24 20 79 69 65 6c 64 73 | 20 24 34 33 2f 36 24 2e |$ yields| $43/6$.|
|00001920| 20 54 68 69 73 0d 0a 63 | 61 6e 20 62 65 20 76 65 | This..c|an be ve|
|00001930| 72 69 66 69 65 64 20 62 | 79 20 77 72 69 74 69 6e |rified b|y writin|
|00001940| 67 20 74 68 65 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 20 61 |g the in|tegral a|
|00001950| 73 20 61 20 73 75 6d 20 | 6f 66 20 69 6e 74 65 67 |s a sum |of integ|
|00001960| 72 61 6c 73 20 69 6e 76 | 6f 6c 76 69 6e 67 0d 0a |rals inv|olving..|
|00001970| 6f 72 64 69 6e 61 72 79 | 20 66 75 6e 63 74 69 6f |ordinary| functio|
|00001980| 6e 73 2e 20 54 68 69 73 | 20 79 69 65 6c 64 73 20 |ns. This| yields |
|00001990| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 69 | 6e 74 5f 7b 2d 32 7d 5e |..\[..\i|nt_{-2}^|
|000019a0| 7b 33 7d 66 28 78 29 64 | 78 3d 5c 69 6e 74 5f 7b |{3}f(x)d|x=\int_{|
|000019b0| 2d 32 7d 5e 7b 30 7d 78 | 5e 7b 32 7d 64 78 2b 5c |-2}^{0}x|^{2}dx+\|
|000019c0| 69 6e 74 5f 7b 30 7d 5e | 7b 33 7d 78 64 78 3d 5c |int_{0}^|{3}xdx=\|
|000019d0| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 66 72 61 63 |allowbre|ak \frac|
|000019e0| 7b 34 33 25 0d 0a 7d 7b | 36 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d |{43%..}{|6} ..\].|
|000019f0| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 78 | 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a |.\end{ex|ample}..|
|00001a00| 0d 0a 5c 73 74 72 75 74 | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |..\strut|....\beg|
|00001a10| 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 5c |in{quota|tion}..\|
|00001a20| 6c 61 62 65 6c 7b 49 6d | 70 72 6f 70 65 72 20 69 |label{Im|proper i|
|00001a30| 6e 74 65 67 72 61 6c 73 | 7d 5c 65 6d 70 68 7b 4e |ntegrals|}\emph{N|
|00001a40| 6f 74 65 3a 20 7d 59 6f | 75 20 73 68 6f 75 6c 64 |ote: }Yo|u should|
|00001a50| 20 75 73 65 20 73 70 65 | 63 69 61 6c 20 63 61 72 | use spe|cial car|
|00001a60| 65 20 77 68 65 6e 0d 0a | 77 6f 72 6b 69 6e 67 20 |e when..|working |
|00001a70| 77 69 74 68 20 0d 0a 5c | 69 6e 64 65 78 7b 49 6d |with ..\|index{Im|
|00001a80| 70 72 6f 70 65 72 20 69 | 6e 74 65 67 72 61 6c 73 |proper i|ntegrals|
|00001a90| 7d 20 0d 0a 5c 69 6e 64 | 65 78 7b 49 6e 74 65 67 |} ..\ind|ex{Integ|
|00001aa0| 72 61 6c 21 69 6d 70 72 | 6f 70 65 72 7d 69 6d 70 |ral!impr|oper}imp|
|00001ab0| 72 6f 70 65 72 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 73 2e |roper in|tegrals.|
|00001ac0| 20 4d 61 6b 65 20 73 75 | 72 65 20 61 6e 73 77 65 | Make su|re answe|
|00001ad0| 72 73 20 6c 6f 6f 6b 0d | 0a 72 65 61 73 6f 6e 61 |rs look.|.reasona|
|00001ae0| 62 6c 65 2e 20 4e 65 69 | 74 68 65 72 20 6d 61 63 |ble. Nei|ther mac|
|00001af0| 68 69 6e 65 73 20 6e 6f | 72 20 70 65 6f 70 6c 65 |hines no|r people|
|00001b00| 20 61 72 65 20 69 6e 66 | 61 6c 6c 69 62 6c 65 2c | are inf|allible,|
|00001b10| 20 62 75 74 20 70 65 6f | 70 6c 65 20 61 6e 64 0d | but peo|ple and.|
|00001b20| 0a 6d 61 63 68 69 6e 65 | 73 20 77 6f 72 6b 69 6e |.machine|s workin|
|00001b30| 67 20 74 6f 67 65 74 68 | 65 72 20 63 61 6e 20 61 |g togeth|er can a|
|00001b40| 63 63 6f 6d 70 6c 69 73 | 68 20 6d 6f 72 65 20 74 |ccomplis|h more t|
|00001b50| 68 61 6e 20 65 69 74 68 | 65 72 20 63 61 6e 20 77 |han eith|er can w|
|00001b60| 6f 72 6b 69 6e 67 20 61 | 6c 6f 6e 65 0d 0a 6f 72 |orking a|lone..or|
|00001b70| 20 75 6e 61 74 74 65 6e | 64 65 64 2e 5c 6d 65 64 | unatten|ded.\med|
|00001b80| 73 6b 69 70 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 |skip..\e|nd{quota|
|00001b90| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d | 0a 5c 73 74 72 75 74 0d |tion}...|.\strut.|
|00001ba0| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 65 78 61 6d 70 6c |...\begi|n{exampl|
|00001bb0| 65 7d 0d 0a 54 68 65 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |e}..The |followin|
|00001bc0| 67 20 65 78 61 6d 70 6c | 65 20 69 6c 6c 75 73 74 |g exampl|e illust|
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|00001d70| 66 20 69 74 20 65 78 69 | 73 74 73 2c 20 6d 75 73 |f it exi|sts, mus|
|00001d80| 74 20 62 65 0d 0a 6e 6f | 6e 6e 65 67 61 74 69 76 |t be..no|nnegativ|
|00001d90| 65 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 |e...\end|{example|
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|00001e00| 20 74 68 65 20 65 78 65 | 72 63 69 73 65 73 0d 0a | the exe|rcises..|
|00001e10| 61 74 20 74 68 65 20 65 | 6e 64 20 6f 66 20 74 68 |at the e|nd of th|
|00001e20| 69 73 20 63 68 61 70 74 | 65 72 2e 0d 0a 5c 65 6e |is chapt|er...\en|
|00001e30| 64 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a |d{quotat|ion}....|
|00001e40| 5c 73 74 72 75 74 0d 0a | 0d 0a 5c 73 75 62 73 65 |\strut..|..\subse|
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|00001e70| 74 68 65 20 44 65 66 69 | 6e 69 74 69 6f 6e 5c 6c |the Defi|nition\l|
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|00001ea0| 6e 69 74 69 6f 6e 7d 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 73 74 72 |nition}}|....\str|
|00001eb0| 75 74 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 65 78 61 |ut....\b|egin{exa|
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|00001ef0| 43 61 6c 63 75 6c 61 74 | 65 20 74 68 65 20 69 6e |Calculat|e the in|
|00001f00| 74 65 67 72 61 6c 20 24 | 25 0d 0a 5c 69 6e 74 5f |tegral $|%..\int_|
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|00001f20| 73 20 66 6f 6c 6c 6f 77 | 73 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 |s follow|s.....\b|
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|00001fd0| 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 0d 0a 5c 69 74 65 6d 5b |} ..\]..|..\item[|
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|00001ff0| 74 65 72 6d 20 74 6f 20 | 74 68 65 20 72 69 67 68 |term to |the righ|
|00002000| 74 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 73 75 6d 6d 61 74 69 |t of the| summati|
|00002010| 6f 6e 20 73 69 67 6e 2e | 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 65 |on sign.|....\ite|
|00002020| 6d 5b 33 2e 5d 20 20 50 | 72 65 73 73 20 61 6e 64 |m[3.] P|ress and|
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|00002040| 74 65 78 74 73 63 7b 63 | 74 72 6c 20 7d 20 6b 65 |textsc{c|trl } ke|
|00002050| 79 20 61 6e 64 20 61 70 | 70 6c 79 20 5c 74 65 78 |y and ap|ply \tex|
|00002060| 74 73 66 7b 25 0d 0a 45 | 76 61 6c 75 61 74 65 7d |tsf{%..E|valuate}|
|00002070| 2c 20 74 68 65 6e 20 61 | 70 70 6c 79 20 5c 74 65 |, then a|pply \te|
|00002080| 78 74 73 66 7b 46 61 63 | 74 6f 72 7d 2e 0d 0a 0d |xtsf{Fac|tor}....|
|00002090| 0a 5c 69 74 65 6d 5b 34 | 2e 5d 20 20 53 65 6c 65 |.\item[4|.] Sele|
|000020a0| 63 74 20 74 68 65 20 73 | 65 72 69 65 73 2e 0d 0a |ct the s|eries...|
|000020b0| 0d 0a 5c 69 74 65 6d 5b | 35 2e 5d 20 20 50 72 65 |..\item[|5.] Pre|
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|000020d0| 20 74 68 65 20 5c 74 65 | 78 74 73 63 7b 63 74 72 | the \te|xtsc{ctr|
|000020e0| 6c 20 7d 20 6b 65 79 20 | 61 6e 64 20 61 70 70 6c |l } key |and appl|
|000020f0| 79 20 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 25 0d 0a 45 76 61 |y \texts|f{%..Eva|
|00002100| 6c 75 61 74 65 7d 2c 20 | 74 68 65 6e 20 61 70 70 |luate}, |then app|
|00002110| 6c 79 20 5c 74 65 78 74 | 73 66 7b 45 78 70 61 6e |ly \text|sf{Expan|
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|00002140| 5c 69 74 65 6d 5b 36 2e | 5d 20 20 57 69 74 68 20 |\item[6.|] With |
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|00002190| 7d 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 6e 75 6d 65 72 61 |}...\end|{enumera|
|000021a0| 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 54 | 68 65 73 65 20 73 74 65 |te}....T|hese ste|
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|000021c0| 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 | 20 73 65 71 75 65 6e 63 |ollowing| sequenc|
|000021d0| 65 20 6f 66 20 65 78 70 | 72 65 73 73 69 6f 6e 73 |e of exp|ressions|
|000021e0| 2e 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 65 71 6e 61 72 |. ..\beg|in{eqnar|
|000021f0| 72 61 79 2a 7d 0d 0a 5c | 69 6e 74 5f 7b 31 7d 5e |ray*}..\|int_{1}^|
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|00002250| 69 67 68 74 29 20 5c 66 | 72 61 63 7b 34 2d 31 7d |ight) \f|rac{4-1}|
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|000022a0| 6e 2b 33 69 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5e 7b 33 7d |n+3i\rig|ht) ^{3}|
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|000022c0| 3d 5c 6c 69 6d 5f 7b 6e | 5c 72 69 67 68 74 61 72 |=\lim_{n|\rightar|
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|000022e0| 74 28 20 5c 66 72 61 63 | 7b 31 38 39 7d 7b 32 6e |t( \frac|{189}{2n|
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