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|000023e0| 6d 65 64 73 6b 69 70 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 69 74 |medskip.|.\end{it|
|000023f0| 65 6d 69 7a 65 7d 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |emize}..|..\begin|
|00002400| 7b 65 6e 75 6d 65 72 61 | 74 65 7d 0d 0a 5c 69 74 |{enumera|te}..\it|
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|000024d0| 74 61 0d 0a 3d 5c 66 72 | 61 63 7b 33 39 7d 7b 31 |ta..=\fr|ac{39}{1|
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|000025c0| 69 74 65 6d 20 20 54 6f | 20 63 68 65 63 6b 20 74 |item To| check t|
|000025d0| 68 65 73 65 20 72 65 73 | 75 6c 74 73 2c 20 61 70 |hese res|ults, ap|
|000025e0| 70 6c 79 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |ply \tex|tsf{Eval|
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|00002610| 7d 24 20 74 6f 20 67 65 | 74 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a |}$ to ge|t ..\[..|
|00002620| 33 5e 7b 5c 63 69 72 63 | 20 7d 35 34 5e 7b 5c 70 |3^{\circ| }54^{\p|
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|00002650| 0a 5c 65 6e 64 7b 69 74 | 65 6d 69 7a 65 7d 0d 0a |.\end{it|emize}..|
|00002660| 5c 65 6e 64 7b 65 78 61 | 6d 70 6c 65 7d 0d 0a 0d |\end{exa|mple}...|
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|00002680| 65 63 74 69 6f 6e 7b 5c | 20 54 72 69 67 6f 6e 6f |ection{\| Trigono|
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|000026f0| 6f 6d 65 20 6f 70 65 72 | 61 74 69 6f 6e 73 20 6f |ome oper|ations o|
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|00002710| 0a 66 75 6e 63 74 69 6f | 6e 73 2e 20 46 69 72 73 |.functio|ns. Firs|
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|00002760| 65 73 73 69 6f 6e 73 20 | 69 6c 6c 75 73 74 72 61 |essions |illustra|
|00002770| 74 65 20 6d 61 6e 79 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 66 |te many |of the f|
|00002780| 61 6d 69 6c 69 61 72 20 | 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d |amiliar |trigonom|
|00002790| 65 74 72 69 63 20 69 64 | 65 6e 74 69 74 69 65 73 |etric id|entities|
|000027a0| 2e 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 | 62 73 75 62 73 65 63 74 |.....\su|bsubsect|
|000027b0| 69 6f 6e 7b 44 65 66 69 | 6e 69 74 69 6f 6e 73 20 |ion{Defi|nitions |
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|000027d0| 63 20 54 72 69 67 6f 6e | 6f 6d 65 74 72 69 63 20 |c Trigon|ometric |
|000027e0| 46 75 6e 63 74 69 6f 6e | 73 7d 0d 0a 0d 0a 41 70 |Function|s}....Ap|
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|000028b0| 6c 69 66 79 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 |lify}..\|end{quot|
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|00002900| 74 72 75 74 0d 0a 0d 0a | 24 5c 63 6f 74 20 78 3d |trut....|$\cot x=|
|00002910| 5c 2c 5c 2c 5c 64 66 72 | 61 63 7b 5c 63 6f 73 20 |\,\,\dfr|ac{\cos |
|00002920| 78 7d 7b 5c 73 69 6e 20 | 78 7d 24 0d 0a 0d 0a 5c |x}{\sin |x}$....\|
|00002930| 73 74 72 75 74 0d 0a 0d | 0a 24 5c 73 65 63 20 78 |strut...|.$\sec x|
|00002940| 3d 5c 2c 5c 64 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 5c 63 6f |=\,\dfra|c{1}{\co|
|00002950| 73 20 78 7d 24 0d 0a 0d | 0a 5c 73 74 72 75 74 0d |s x}$...|.\strut.|
|00002960| 0a 0d 0a 24 5c 63 73 63 | 20 78 3d 5c 2c 5c 64 66 |...$\csc| x=\,\df|
|00002970| 72 61 63 7b 31 7d 7b 5c | 73 69 6e 20 78 7d 24 0d |rac{1}{\|sin x}$.|
|00002980| 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 | 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d |.\end{qu|otation}|
|00002990| 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 62 | 73 75 62 73 65 63 74 69 |....\sub|subsecti|
|000029a0| 6f 6e 7b 50 79 74 68 61 | 67 6f 72 65 61 6e 20 49 |on{Pytha|gorean I|
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|000029c0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 |egin{quo|te}..$\b|
|000029d0| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
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|000029f0| 6c 69 66 79 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 |lify}..\|end{quot|
|00002a00| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |e}....\b|egin{quo|
|00002a10| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 24 5c 73 69 6e 20 5e |tation}.|.$\sin ^|
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|00002a40| 0d 0a 0d 0a 24 5c 74 61 | 6e 20 5e 7b 32 7d 78 2d |....$\ta|n ^{2}x-|
|00002a50| 5c 73 65 63 20 5e 7b 32 | 7d 78 3d 5c 2c 2d 31 5c |\sec ^{2|}x=\,-1\|
|00002a60| 76 73 70 61 63 65 7b 34 | 70 74 7d 24 0d 0a 0d 0a |vspace{4|pt}$....|
|00002a70| 24 5c 63 6f 74 20 5e 7b | 32 7d 78 2d 5c 63 73 63 |$\cot ^{|2}x-\csc|
|00002a80| 20 5e 7b 32 7d 78 3d 5c | 2c 2d 31 5c 76 73 70 61 | ^{2}x=\|,-1\vspa|
|00002a90| 63 65 7b 36 70 74 7d 24 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 |ce{6pt}$|..\end{q|
|00002aa0| 75 6f 74 61 74 69 6f 6e | 7d 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 |uotation|}....\su|
|00002ab0| 62 73 75 62 73 65 63 74 | 69 6f 6e 7b 41 64 64 69 |bsubsect|ion{Addi|
|00002ac0| 74 69 6f 6e 20 46 6f 72 | 6d 75 6c 61 73 5c 6c 61 |tion For|mulas\la|
|00002ad0| 62 65 6c 7b 41 64 64 69 | 74 69 6f 6e 20 66 6f 72 |bel{Addi|tion for|
|00002ae0| 6d 75 6c 61 73 7d 5c 6c | 61 62 65 6c 25 0d 0a 7b |mulas}\l|abel%..{|
|00002af0| 43 6f 6d 62 69 6e 65 2c | 20 74 72 69 67 6f 6e 6f |Combine,| trigono|
|00002b00| 6d 65 74 72 69 63 20 66 | 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 |metric f|unctions|
|00002b10| 7d 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |}}....\b|egin{quo|
|00002b20| 74 65 7d 0d 0a 5c 74 65 | 78 74 73 66 7b 45 78 70 |te}..\te|xtsf{Exp|
|00002b30| 61 6e 64 7d 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 71 75 6f 74 65 |and}..\e|nd{quote|
|00002b40| 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 |}....\be|gin{quot|
|00002b50| 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a | 24 5c 73 69 6e 20 5c 6c |ation}..|$\sin \l|
|00002b60| 65 66 74 28 20 78 2b 79 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |eft( x+y|\right) |
|00002b70| 3d 5c 2c 5c 73 69 6e 20 | 78 5c 63 6f 73 20 79 2b |=\,\sin |x\cos y+|
|00002b80| 5c 63 6f 73 20 78 5c 73 | 69 6e 20 79 24 0d 0a 0d |\cos x\s|in y$...|
|00002b90| 0a 24 5c 63 6f 73 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 78 2b |.$\cos \|left( x+|
|00002ba0| 79 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 3d 5c 2c 5c 63 6f 73 |y\right)| =\,\cos|
|00002bb0| 20 78 5c 63 6f 73 20 79 | 2d 5c 73 69 6e 20 78 5c | x\cos y|-\sin x\|
|00002bc0| 73 69 6e 20 79 24 0d 0a | 0d 0a 24 5c 74 61 6e 20 |sin y$..|..$\tan |
|00002bd0| 5c 6c 65 66 74 28 20 78 | 2b 79 5c 72 69 67 68 74 |\left( x|+y\right|
|00002be0| 29 20 3d 5c 2c 5c 64 66 | 72 61 63 7b 5c 73 69 6e |) =\,\df|rac{\sin|
|00002bf0| 20 78 5c 63 6f 73 20 79 | 2b 5c 63 6f 73 20 78 5c | x\cos y|+\cos x\|
|00002c00| 73 69 6e 20 79 7d 7b 5c | 63 6f 73 20 78 5c 63 6f |sin y}{\|cos x\co|
|00002c10| 73 0d 0a 79 2d 5c 73 69 | 6e 20 78 5c 73 69 6e 20 |s..y-\si|n x\sin |
|00002c20| 79 7d 24 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 61 74 |y}$..\en|d{quotat|
|00002c30| 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a | 41 70 70 6c 79 20 5c 74 |ion}....|Apply \t|
|00002c40| 65 78 74 73 66 7b 43 6f | 6d 62 69 6e 65 20 2b 20 |extsf{Co|mbine + |
|00002c50| 54 72 69 67 20 46 75 6e | 63 74 69 6f 6e 73 20 7d |Trig Fun|ctions }|
|00002c60| 20 0d 0a 5c 69 6e 64 65 | 78 7b 43 6f 6d 62 69 6e | ..\inde|x{Combin|
|00002c70| 65 40 43 6f 6d 62 69 6e | 65 21 74 72 69 67 6f 6e |e@Combin|e!trigon|
|00002c80| 6f 6d 65 74 72 69 63 20 | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |ometric |function|
|00002c90| 73 40 74 72 69 67 6f 6e | 6f 6d 65 74 72 69 63 20 |s@trigon|ometric |
|00002ca0| 66 75 6e 63 74 69 6f 6e | 73 7d 74 6f 0d 0a 74 68 |function|s}to..th|
|00002cb0| 65 20 65 78 70 61 6e 73 | 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 |e expans|ions of |
|00002cc0| 24 5c 73 69 6e 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 78 2b 79 |$\sin \l|eft( x+y|
|00002cd0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 24 20 61 6e 64 20 24 5c |\right) |$ and $\|
|00002ce0| 63 6f 73 20 5c 6c 65 66 | 74 28 20 78 2b 79 5c 72 |cos \lef|t( x+y\r|
|00002cf0| 69 67 68 74 29 20 24 20 | 74 6f 0d 0a 72 65 74 75 |ight) $ |to..retu|
|00002d00| 72 6e 20 74 68 65 6d 20 | 74 6f 20 74 68 65 69 72 |rn them |to their|
|00002d10| 20 6f 72 69 67 69 6e 61 | 6c 20 66 6f 72 6d 20 61 | origina|l form a|
|00002d20| 6e 64 20 74 6f 20 63 68 | 61 6e 67 65 20 74 68 65 |nd to ch|ange the|
|00002d30| 20 65 78 70 61 6e 73 69 | 6f 6e 20 6f 66 20 24 5c | expansi|on of $\|
|00002d40| 74 61 6e 0d 0a 5c 6c 65 | 66 74 28 20 78 2b 79 5c |tan..\le|ft( x+y\|
|00002d50| 72 69 67 68 74 29 20 24 | 20 74 6f 20 74 68 65 20 |right) $| to the |
|00002d60| 66 6f 72 6d 20 24 5c 2c | 25 0d 0a 5c 66 72 61 63 |form $\,|%..\frac|
|00002d70| 7b 5c 73 69 6e 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 78 2b 79 |{\sin \l|eft( x+y|
|00002d80| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 7d 7b 5c 63 6f 73 20 5c |\right) |}{\cos \|
|00002d90| 6c 65 66 74 28 20 78 2b | 79 5c 72 69 67 68 74 29 |left( x+|y\right)|
|00002da0| 20 7d 24 2e 0d 0a 0d 0a | 5c 73 75 62 73 75 62 73 | }$.....|\subsubs|
|00002db0| 65 63 74 69 6f 6e 7b 44 | 6f 75 62 6c 65 2d 41 6e |ection{D|ouble-An|
|00002dc0| 67 6c 65 20 46 6f 72 6d | 75 6c 61 73 5c 6c 61 62 |gle Form|ulas\lab|
|00002dd0| 65 6c 7b 44 6f 75 62 6c | 65 2d 61 6e 67 6c 65 20 |el{Doubl|e-angle |
|00002de0| 66 6f 72 6d 75 6c 61 73 | 7d 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |formulas|}}....\b|
|00002df0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 |egin{quo|te}..$\b|
|00002e00| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
|00002e10| 74 20 24 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 78 70 61 |t $ \tex|tsf{Expa|
|00002e20| 6e 64 7d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 65 7d |nd}..\en|d{quote}|
|00002e30| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 |....\beg|in{quota|
|00002e40| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 | 5c 73 69 6e 20 32 5c 74 |tion}..$|\sin 2\t|
|00002e50| 68 65 74 61 20 3d 5c 2c | 32 5c 73 69 6e 20 5c 74 |heta =\,|2\sin \t|
|00002e60| 68 65 74 61 20 5c 63 6f | 73 20 5c 74 68 65 74 61 |heta \co|s \theta|
|00002e70| 20 5c 76 73 70 61 63 65 | 7b 34 70 74 7d 24 0d 0a | \vspace|{4pt}$..|
|00002e80| 0d 0a 24 5c 63 6f 73 20 | 32 5c 74 68 65 74 61 20 |..$\cos |2\theta |
|00002e90| 3d 5c 2c 32 5c 63 6f 73 | 20 5e 7b 32 7d 5c 74 68 |=\,2\cos| ^{2}\th|
|00002ea0| 65 74 61 20 2d 31 24 0d | 0a 0d 0a 24 5c 74 61 6e |eta -1$.|...$\tan|
|00002eb0| 20 32 5c 74 68 65 74 61 | 20 3d 5c 2c 32 5c 6c 65 | 2\theta| =\,2\le|
|00002ec0| 66 74 28 20 5c 73 69 6e | 20 5c 74 68 65 74 61 20 |ft( \sin| \theta |
|00002ed0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5c 64 66 72 61 63 7b 5c |\right) |\dfrac{\|
|00002ee0| 63 6f 73 20 5c 74 68 65 | 74 61 20 7d 7b 32 5c 63 |cos \the|ta }{2\c|
|00002ef0| 6f 73 0d 0a 5e 7b 32 7d | 5c 74 68 65 74 61 20 2d |os..^{2}|\theta -|
|00002f00| 31 7d 5c 76 73 70 61 63 | 65 7b 38 70 74 7d 24 0d |1}\vspac|e{8pt}$.|
|00002f10| 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 | 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d |.\end{qu|otation}|
|00002f20| 0d 0a 0d 0a 59 6f 75 20 | 63 61 6e 20 75 6e 63 6f |....You |can unco|
|00002f30| 76 65 72 20 6f 74 68 65 | 72 20 6d 75 6c 74 69 70 |ver othe|r multip|
|00002f40| 6c 65 2d 61 6e 67 6c 65 | 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 |le-angle| formula|
|00002f50| 73 20 77 69 74 68 20 5c | 74 65 78 74 73 66 7b 45 |s with \|textsf{E|
|00002f60| 78 70 61 6e 64 7d 2e 0d | 0a 46 6f 6c 6c 6f 77 69 |xpand}..|.Followi|
|00002f70| 6e 67 20 61 72 65 20 73 | 6f 6d 65 20 65 78 61 6d |ng are s|ome exam|
|00002f80| 70 6c 65 73 2e 5c 76 73 | 70 61 63 65 7b 34 70 74 |ples.\vs|pace{4pt|
|00002f90| 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 |}....\be|gin{quot|
|00002fa0| 65 7d 0d 0a 24 5c 62 6c | 61 63 6b 74 72 69 61 6e |e}..$\bl|acktrian|
|00002fb0| 67 6c 65 72 69 67 68 74 | 20 24 20 5c 74 65 78 74 |gleright| $ \text|
|00002fc0| 73 66 7b 45 78 70 61 6e | 64 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 |sf{Expan|d}..\end|
|00002fd0| 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |{quote}.|...\begi|
|00002fe0| 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c |n{quotat|ion}..$\|
|00002ff0| 73 69 6e 20 36 5c 74 68 | 65 74 61 20 3d 5c 2c 33 |sin 6\th|eta =\,3|
|00003000| 32 5c 73 69 6e 20 5c 74 | 68 65 74 61 20 5c 63 6f |2\sin \t|heta \co|
|00003010| 73 20 5e 7b 35 7d 5c 74 | 68 65 74 61 20 2d 33 32 |s ^{5}\t|heta -32|
|00003020| 5c 73 69 6e 20 5c 74 68 | 65 74 61 20 5c 63 6f 73 |\sin \th|eta \cos|
|00003030| 0d 0a 5e 7b 33 7d 5c 74 | 68 65 74 61 20 2b 36 5c |..^{3}\t|heta +6\|
|00003040| 73 69 6e 20 5c 74 68 65 | 74 61 20 5c 63 6f 73 20 |sin \the|ta \cos |
|00003050| 5c 74 68 65 74 61 20 24 | 0d 0a 0d 0a 5c 20 0d 0a |\theta $|....\ ..|
|00003060| 0d 0a 24 5c 73 69 6e 20 | 32 34 5c 74 68 65 74 61 |..$\sin |24\theta|
|00003070| 20 3d 38 33 38 38 36 30 | 38 5c 73 69 6e 20 5c 74 | =838860|8\sin \t|
|00003080| 68 65 74 61 20 5c 63 6f | 73 20 5e 7b 32 33 7d 5c |heta \co|s ^{23}\|
|00003090| 74 68 65 74 61 20 5c 2c | 2d 5c 2c 34 36 31 33 37 |theta \,|-\,46137|
|000030a0| 33 34 34 5c 73 69 6e 20 | 5c 74 68 65 74 61 0d 0a |344\sin |\theta..|
|000030b0| 5c 63 6f 73 20 5e 7b 32 | 31 7d 5c 74 68 65 74 61 |\cos ^{2|1}\theta|
|000030c0| 20 24 0d 0a 0d 0a 5c 71 | 71 75 61 64 20 5c 71 71 | $....\q|quad \qq|
|000030d0| 75 61 64 20 5c 71 71 75 | 61 64 20 24 2b 5c 2c 31 |uad \qqu|ad $+\,1|
|000030e0| 31 30 31 30 30 34 38 30 | 5c 73 69 6e 20 5c 74 68 |10100480|\sin \th|
|000030f0| 65 74 61 20 5c 63 6f 73 | 20 5e 7b 31 39 7d 5c 74 |eta \cos| ^{19}\t|
|00003100| 68 65 74 61 0d 0a 5c 2c | 2d 5c 2c 31 34 39 34 32 |heta..\,|-\,14942|
|00003110| 32 30 38 30 5c 73 69 6e | 20 5c 74 68 65 74 61 20 |2080\sin| \theta |
|00003120| 5c 63 6f 73 20 5e 7b 31 | 37 7d 5c 74 68 65 74 61 |\cos ^{1|7}\theta|
|00003130| 20 24 0d 0a 0d 0a 5c 71 | 71 75 61 64 20 5c 71 71 | $....\q|quad \qq|
|00003140| 75 61 64 20 5c 71 71 75 | 61 64 20 24 2b 5c 2c 31 |uad \qqu|ad $+\,1|
|00003150| 32 37 30 30 38 37 36 38 | 5c 73 69 6e 20 5c 74 68 |27008768|\sin \th|
|00003160| 65 74 61 20 5c 63 6f 73 | 20 5e 7b 31 35 7d 5c 74 |eta \cos| ^{15}\t|
|00003170| 68 65 74 61 0d 0a 5c 2c | 2d 5c 2c 37 30 31 38 39 |heta..\,|-\,70189|
|00003180| 30 35 36 5c 73 69 6e 20 | 5c 74 68 65 74 61 20 5c |056\sin |\theta \|
|00003190| 63 6f 73 20 5e 7b 31 33 | 7d 5c 74 68 65 74 61 20 |cos ^{13|}\theta |
|000031a0| 24 0d 0a 0d 0a 5c 71 71 | 75 61 64 20 5c 71 71 75 |$....\qq|uad \qqu|
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|00003280| 71 71 75 61 64 20 5c 71 | 71 75 61 64 20 24 2b 5c |qquad \q|quad $+\|
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|000038b0| 73 66 7b 45 78 70 61 6e | 64 7d 2c 20 5c 74 65 78 |sf{Expan|d}, \tex|
|000038c0| 74 73 66 7b 53 69 6d 70 | 6c 69 66 79 7d 0d 0a 5c |tsf{Simp|lify}..\|
|000038d0| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |end{quot|e}....\b|
|000038e0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |egin{quo|tation}.|
|000038f0| 0a 24 5c 6c 65 66 74 28 | 20 5c 73 65 63 20 74 5c |.$\left(| \sec t\|
|00003900| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 31 2b |right) \|left( 1+|
|00003910| 5c 63 6f 73 20 32 74 5c | 72 69 67 68 74 29 20 3d |\cos 2t\|right) =|
|00003920| 5c 2c 32 5c 73 65 63 20 | 74 5c 63 6f 73 20 5e 7b |\,2\sec |t\cos ^{|
|00003930| 32 7d 74 3d 5c 2c 32 5c | 63 6f 73 20 74 25 0d 0a |2}t=\,2\|cos t%..|
|00003940| 5c 76 73 70 61 63 65 7b | 34 70 74 7d 24 0d 0a 5c |\vspace{|4pt}$..\|
|00003950| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |end{quot|ation}..|
|00003960| 0d 0a 5c 73 74 72 75 74 | 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 62 |..\strut|....\sub|
|00003970| 73 65 63 74 69 6f 6e 7b | 5c 20 53 6f 6c 75 74 69 |section{|\ Soluti|
|00003980| 6f 6e 20 5c 6c 61 62 65 | 6c 7b 53 6f 6c 75 74 69 |on \labe|l{Soluti|
|00003990| 6f 6e 20 6f 66 20 74 72 | 69 61 6e 67 6c 65 73 7d |on of tr|iangles}|
|000039a0| 6f 66 20 54 72 69 61 6e | 67 6c 65 73 7d 0d 0a 0d |of Trian|gles}...|
|000039b0| 0a 54 6f 20 5c 65 6d 70 | 68 7b 73 6f 6c 76 65 7d |.To \emp|h{solve}|
|000039c0| 20 61 20 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 20 6d 65 61 6e | a trian|gle mean|
|000039d0| 73 20 74 6f 20 64 65 74 | 65 72 6d 69 6e 65 20 74 |s to det|ermine t|
|000039e0| 68 65 20 6c 65 6e 67 74 | 68 73 20 6f 66 20 74 68 |he lengt|hs of th|
|000039f0| 65 20 74 68 72 65 65 20 | 73 69 64 65 73 0d 0a 61 |e three |sides..a|
|00003a00| 6e 64 20 74 68 65 20 6d | 65 61 73 75 72 65 73 20 |nd the m|easures |
|00003a10| 28 69 6e 20 64 65 67 72 | 65 65 73 20 6f 72 20 72 |(in degr|ees or r|
|00003a20| 61 64 69 61 6e 73 29 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 74 |adians) |of the t|
|00003a30| 68 72 65 65 20 61 6e 67 | 6c 65 73 2e 0d 0a 0d 0a |hree ang|les.....|
|00003a40| 5c 73 75 62 73 75 62 73 | 65 63 74 69 6f 6e 7b 53 |\subsubs|ection{S|
|00003a50| 6f 6c 76 69 6e 67 20 61 | 20 52 69 67 68 74 20 54 |olving a| Right T|
|00003a60| 72 69 61 6e 67 6c 65 5c | 6c 61 62 65 6c 7b 53 6f |riangle\|label{So|
|00003a70| 6c 76 65 2c 20 72 69 67 | 68 74 20 74 72 69 61 6e |lve, rig|ht trian|
|00003a80| 67 6c 65 7d 7d 0d 0a 0d | 0a 59 6f 75 20 63 61 6e |gle}}...|.You can|
|00003a90| 20 73 6f 6c 76 65 20 61 | 20 72 69 67 68 74 20 74 | solve a| right t|
|00003aa0| 72 69 61 6e 67 6c 65 20 | 0d 0a 5c 69 6e 64 65 78 |riangle |..\index|
|00003ab0| 7b 53 6f 6c 76 65 40 53 | 6f 6c 76 65 21 72 69 67 |{Solve@S|olve!rig|
|00003ac0| 68 74 20 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 40 72 69 67 68 |ht trian|gle@righ|
|00003ad0| 74 20 74 72 69 61 6e 67 | 6c 65 7d 77 69 74 68 20 |t triang|le}with |
|00003ae0| 73 69 64 65 73 20 24 61 | 2c 62 2c 63 24 20 61 6e |sides $a|,b,c$ an|
|00003af0| 64 0d 0a 6f 70 70 6f 73 | 69 74 65 20 61 6e 67 6c |d..oppos|ite angl|
|00003b00| 65 73 20 24 5c 61 6c 70 | 68 61 20 2c 5c 62 65 74 |es $\alp|ha ,\bet|
|00003b10| 61 20 2c 5c 67 61 6d 6d | 61 20 24 2c 20 72 65 73 |a ,\gamm|a $, res|
|00003b20| 70 65 63 74 69 76 65 6c | 79 2c 20 69 66 20 79 6f |pectivel|y, if yo|
|00003b30| 75 20 6b 6e 6f 77 20 74 | 68 65 0d 0a 76 61 6c 75 |u know t|he..valu|
|00003b40| 65 20 6f 66 20 6f 6e 65 | 20 73 69 64 65 20 61 6e |e of one| side an|
|00003b50| 64 20 6f 6e 65 20 61 63 | 75 74 65 20 61 6e 67 6c |d one ac|ute angl|
|00003b60| 65 2c 20 6f 72 20 74 68 | 65 20 76 61 6c 75 65 20 |e, or th|e value |
|00003b70| 6f 66 20 61 6e 79 20 74 | 77 6f 20 73 69 64 65 73 |of any t|wo sides|
|00003b80| 2e 0d 0a 0d 0a 5c 73 74 | 72 75 74 0d 0a 0d 0a 5c |.....\st|rut....\|
|00003b90| 62 65 67 69 6e 7b 65 78 | 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a |begin{ex|ample}..|
|00003ba0| 54 6f 20 73 6f 6c 76 65 | 20 74 68 65 20 72 69 67 |To solve| the rig|
|00003bb0| 68 74 20 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 20 77 69 74 68 |ht trian|gle with|
|00003bc0| 20 6f 6e 65 20 73 69 64 | 65 20 6f 66 20 6c 65 6e | one sid|e of len|
|00003bd0| 67 74 68 20 24 63 3d 32 | 24 20 61 6e 64 20 6f 6e |gth $c=2|$ and on|
|00003be0| 65 20 61 6e 67 6c 65 20 | 24 25 0d 0a 5c 61 6c 70 |e angle |$%..\alp|
|00003bf0| 68 61 20 3d 25 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 5c 70 69 |ha =%..\|frac{\pi|
|00003c00| 20 7d 7b 39 7d 24 2c 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | }{9}$,.|...\begi|
|00003c10| 6e 7b 65 6e 75 6d 65 72 | 61 74 65 7d 0d 0a 5c 69 |n{enumer|ate}..\i|
|00003c20| 74 65 6d 20 20 43 68 6f | 6f 73 65 20 5c 74 65 78 |tem Cho|ose \tex|
|00003c30| 74 73 66 7b 4e 65 77 20 | 44 65 66 69 6e 69 74 69 |tsf{New |Definiti|
|00003c40| 6f 6e 7d 20 66 72 6f 6d | 20 74 68 65 20 5c 74 65 |on} from| the \te|
|00003c50| 78 74 73 66 7b 44 65 66 | 69 6e 65 7d 20 6d 65 6e |xtsf{Def|ine} men|
|00003c60| 75 20 66 6f 72 20 65 61 | 63 68 0d 0a 6f 66 20 74 |u for ea|ch..of t|
|00003c70| 68 65 20 67 69 76 65 6e | 20 76 61 6c 75 65 73 20 |he given| values |
|00003c80| 24 5c 61 6c 70 68 61 20 | 3d 5c 66 72 61 63 7b 5c |$\alpha |=\frac{\|
|00003c90| 70 69 20 7d 7b 39 7d 24 | 20 61 6e 64 20 24 63 3d |pi }{9}$| and $c=|
|00003ca0| 32 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c | 69 74 65 6d 20 20 41 70 |2$.....\|item Ap|
|00003cb0| 70 6c 79 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |ply \tex|tsf{Eval|
|00003cc0| 75 61 74 65 7d 20 74 6f | 20 24 5c 62 65 74 61 20 |uate} to| $\beta |
|00003cd0| 3d 5c 66 72 61 63 7b 5c | 70 69 20 7d 7b 32 7d 2d |=\frac{\|pi }{2}-|
|00003ce0| 5c 61 6c 70 68 61 20 24 | 20 74 6f 20 67 65 74 20 |\alpha $| to get |
|00003cf0| 24 25 0d 0a 5c 62 65 74 | 61 20 3d 5c 2c 5c 66 72 |$%..\bet|a =\,\fr|
|00003d00| 61 63 7b 37 7d 7b 31 38 | 7d 5c 70 69 20 24 2e 0d |ac{7}{18|}\pi $..|
|00003d10| 0a 0d 0a 5c 69 74 65 6d | 20 20 41 70 70 6c 79 20 |...\item| Apply |
|00003d20| 5c 74 65 78 74 73 66 7b | 45 76 61 6c 75 61 74 65 |\textsf{|Evaluate|
|00003d30| 5c 20 7d 28 6f 72 20 5c | 74 65 78 74 73 66 7b 45 |\ }(or \|textsf{E|
|00003d40| 76 61 6c 75 61 74 65 20 | 4e 75 6d 65 72 69 63 61 |valuate |Numerica|
|00003d50| 6c 6c 79 7d 29 20 74 6f | 20 24 25 0d 0a 61 3d 63 |lly}) to| $%..a=c|
|00003d60| 5c 73 69 6e 20 5c 61 6c | 70 68 61 20 24 20 74 6f |\sin \al|pha $ to|
|00003d70| 20 67 65 74 20 24 61 3d | 32 5c 73 69 6e 20 5c 66 | get $a=|2\sin \f|
|00003d80| 72 61 63 7b 31 7d 7b 39 | 7d 5c 70 69 20 24 20 24 |rac{1}{9|}\pi $ $|
|00003d90| 5c 6c 65 66 74 28 20 3d | 5c 2c 2e 36 38 34 30 34 |\left( =|\,.68404|
|00003da0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c 69 |\right) |$.....\i|
|00003db0| 74 65 6d 20 20 41 70 70 | 6c 79 20 5c 74 65 78 74 |tem App|ly \text|
|00003dc0| 73 66 7b 45 76 61 6c 75 | 61 74 65 5c 20 7d 74 6f |sf{Evalu|ate\ }to|
|00003dd0| 20 24 62 3d 63 5c 63 6f | 73 20 5c 61 6c 70 68 61 | $b=c\co|s \alpha|
|00003de0| 20 24 20 74 6f 20 67 65 | 74 20 24 62 3d 5c 2c 32 | $ to ge|t $b=\,2|
|00003df0| 5c 63 6f 73 20 5c 66 72 | 61 63 7b 25 0d 0a 31 7d |\cos \fr|ac{%..1}|
|00003e00| 7b 39 7d 5c 70 69 20 24 | 20 24 5c 6c 65 66 74 28 |{9}\pi $| $\left(|
|00003e10| 20 3d 5c 2c 31 2e 38 37 | 39 34 5c 72 69 67 68 74 | =\,1.87|94\right|
|00003e20| 29 20 24 2e 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 6e 75 6d 65 |) $...\e|nd{enume|
|00003e30| 72 61 74 65 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 78 61 6d |rate}..\|end{exam|
|00003e40| 70 6c 65 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 73 74 72 75 74 0d 0a |ple}....|\strut..|
|00003e50| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 |..\begin|{example|
|00003e60| 7d 0d 0a 54 6f 20 73 6f | 6c 76 65 20 61 20 72 69 |}..To so|lve a ri|
|00003e70| 67 68 74 20 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 20 67 69 76 |ght tria|ngle giv|
|00003e80| 65 6e 20 74 77 6f 20 73 | 69 64 65 73 2c 20 73 61 |en two s|ides, sa|
|00003e90| 79 20 24 61 3d 31 39 24 | 20 61 6e 64 20 24 63 3d |y $a=19$| and $c=|
|00003ea0| 32 33 24 2c 0d 0a 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 |23$,....|\begin{e|
|00003eb0| 6e 75 6d 65 72 61 74 65 | 7d 0d 0a 5c 69 74 65 6d |numerate|}..\item|
|00003ec0| 20 20 41 70 70 6c 79 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b | Apply |\textsf{|
|00003ed0| 44 65 66 69 6e 65 7d 5c | 20 74 6f 20 65 61 63 68 |Define}\| to each|
|00003ee0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 67 69 76 65 6e 20 76 61 | of the |given va|
|00003ef0| 6c 75 65 73 2c 20 24 61 | 3d 31 39 24 20 61 6e 64 |lues, $a|=19$ and|
|00003f00| 20 24 63 3d 32 33 24 2e | 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 65 | $c=23$.|....\ite|
|00003f10| 6d 20 20 50 6c 61 63 65 | 20 74 68 65 20 69 6e 73 |m Place| the ins|
|00003f20| 65 72 74 69 6f 6e 20 70 | 6f 69 6e 74 20 69 6e 20 |ertion p|oint in |
|00003f30| 74 68 65 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 20 24 61 5e |the equa|tion $a^|
|00003f40| 7b 32 7d 2b 62 5e 7b 32 | 7d 3d 63 5e 7b 32 7d 24 |{2}+b^{2|}=c^{2}$|
|00003f50| 2e 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 | 65 6d 20 20 46 72 6f 6d |.....\it|em From|
|00003f60| 20 74 68 65 20 5c 74 65 | 78 74 73 66 7b 53 6f 6c | the \te|xtsf{Sol|
|00003f70| 76 65 7d 20 73 75 62 6d | 65 6e 75 2c 20 63 68 6f |ve} subm|enu, cho|
|00003f80| 6f 73 65 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 78 61 63 |ose \tex|tsf{Exac|
|00003f90| 74 7d 20 74 6f 20 67 65 | 74 20 24 62 3d 32 25 0d |t} to ge|t $b=2%.|
|00003fa0| 0a 5c 73 71 72 74 7b 34 | 32 7d 24 2e 0d 0a 0d 0a |.\sqrt{4|2}$.....|
|00003fb0| 5c 69 74 65 6d 20 20 50 | 6c 61 63 65 20 74 68 65 |\item P|lace the|
|00003fc0| 20 69 6e 73 65 72 74 69 | 6f 6e 20 70 6f 69 6e 74 | inserti|on point|
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|00003fe0| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 73 20 24 5c 73 69 6e 20 |equation|s $\sin |
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|000041e0| 73 75 63 68 20 61 73 20 | 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 |such as |$\left[ |
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|000047c0| 61 20 24 20 74 6f 20 67 | 65 74 20 24 5c 67 61 6d |a $ to g|et $\gam|
|000047d0| 6d 61 20 3d 5c 2c 5c 66 | 72 61 63 7b 32 7d 7b 33 |ma =\,\f|rac{2}{3|
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|00004890| 73 69 6e 20 5c 61 6c 70 | 68 61 20 7d 3d 5c 64 66 |sin \alp|ha }=\df|
|000048a0| 72 61 63 7b 63 7d 7b 25 | 0d 0a 5c 73 69 6e 20 5c |rac{c}{%|..\sin \|
|000048b0| 67 61 6d 6d 61 20 7d 24 | 20 61 6e 64 20 74 6f 20 |gamma }$| and to |
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|000048d0| 5c 62 65 74 61 20 7d 3d | 5c 64 66 72 61 63 7b 63 |\beta }=|\dfrac{c|
|000048e0| 7d 7b 5c 73 69 6e 20 5c | 67 61 6d 6d 61 20 7d 24 |}{\sin \|gamma }$|
|000048f0| 20 74 6f 0d 0a 67 65 74 | 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 61 | to..get| ..\[..a|
|00004900| 3d 5c 66 72 61 63 7b 34 | 7d 7b 33 7d 5c 73 71 72 |=\frac{4|}{3}\sqr|
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|00004920| 7d 7b 39 7d 5c 70 69 20 | 5c 74 65 78 74 7b 20 61 |}{9}\pi |\text{ a|
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|00004960| 0d 0a 5c 5d 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 6e 75 6d 65 |..\]..\e|nd{enume|
|00004970| 72 61 74 65 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 78 61 6d |rate}..\|end{exam|
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|00004990| 0d 0a 59 6f 75 20 63 61 | 6e 20 61 70 70 6c 79 20 |..You ca|n apply |
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|000049d0| 69 6f 6e 73 2c 20 6f 72 | 20 79 6f 75 0d 0a 63 61 |ions, or| you..ca|
|000049e0| 6e 20 65 76 61 6c 75 61 | 74 65 20 74 68 65 20 70 |n evalua|te the p|
|000049f0| 72 65 63 65 64 69 6e 67 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f |receding| solutio|
|00004a00| 6e 73 20 6e 75 6d 65 72 | 69 63 61 6c 6c 79 2e 0d |ns numer|ically..|
|00004a10| 0a 0d 0a 55 73 69 6e 67 | 20 62 6f 74 68 20 74 68 |...Using| both th|
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|00004a30| 6e 64 20 0d 0a 5c 69 6e | 64 65 78 7b 4c 61 77 20 |nd ..\in|dex{Law |
|00004a40| 6f 66 20 63 6f 73 69 6e | 65 73 40 4c 61 77 20 6f |of cosin|es@Law o|
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|00004a60| 7b 4c 61 77 20 6f 66 20 | 63 6f 73 69 6e 65 73 7d |{Law of |cosines}|
|00004a70| 74 68 65 20 5c 65 6d 70 | 68 7b 6c 61 77 20 6f 66 |the \emp|h{law of|
|00004a80| 0d 0a 63 6f 73 69 6e 65 | 73 2c 7d 20 0d 0a 5c 5b |..cosine|s,} ..\[|
|00004a90| 0d 0a 61 5e 7b 32 7d 2b | 62 5e 7b 32 7d 2d 32 61 |..a^{2}+|b^{2}-2a|
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|00004ab0| 7b 32 7d 20 0d 0a 5c 5d | 0d 0a 79 6f 75 20 63 61 |{2} ..\]|..you ca|
|00004ac0| 6e 20 73 6f 6c 76 65 20 | 61 20 74 72 69 61 6e 67 |n solve |a triang|
|00004ad0| 6c 65 20 67 69 76 65 6e | 20 74 77 6f 20 73 69 64 |le given| two sid|
|00004ae0| 65 73 20 61 6e 64 20 74 | 68 65 20 69 6e 63 6c 75 |es and t|he inclu|
|00004af0| 64 65 64 20 61 6e 67 6c | 65 2c 20 6f 72 20 67 69 |ded angl|e, or gi|
|00004b00| 76 65 6e 0d 0a 74 68 72 | 65 65 20 73 69 64 65 73 |ven..thr|ee sides|
|00004b10| 2e 0d 0a 0d 0a 5c 73 74 | 72 75 74 0d 0a 0d 0a 5c |.....\st|rut....\|
|00004b20| 62 65 67 69 6e 7b 65 78 | 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a |begin{ex|ample}..|
|00004b30| 54 6f 20 73 6f 6c 76 65 | 20 61 20 74 72 69 61 6e |To solve| a trian|
|00004b40| 67 6c 65 20 67 69 76 65 | 6e 20 74 77 6f 20 73 69 |gle give|n two si|
|00004b50| 64 65 73 20 61 6e 64 20 | 74 68 65 20 69 6e 63 6c |des and |the incl|
|00004b60| 75 64 65 64 20 61 6e 67 | 6c 65 2c 0d 0a 0d 0a 5c |uded ang|le,....\|
|00004b70| 62 65 67 69 6e 7b 65 6e | 75 6d 65 72 61 74 65 7d |begin{en|umerate}|
|00004b80| 0d 0a 5c 69 74 65 6d 20 | 20 44 65 66 69 6e 65 20 |..\item | Define |
|00004b90| 65 61 63 68 20 6f 66 20 | 24 61 3d 32 2e 33 34 24 |each of |$a=2.34$|
|00004ba0| 2c 20 24 62 3d 33 2e 35 | 37 24 2c 20 61 6e 64 20 |, $b=3.5|7$, and |
|00004bb0| 24 5c 67 61 6d 6d 61 20 | 3d 5c 2c 25 0d 0a 5c 66 |$\gamma |=\,%..\f|
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|00004bd0| 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 20 41 70 70 |$.....\i|tem App|
|00004be0| 6c 79 20 5c 74 65 78 74 | 73 66 7b 53 6f 6c 76 65 |ly \text|sf{Solve|
|00004bf0| 20 2b 20 45 78 61 63 74 | 7d 20 74 6f 20 24 61 5e | + Exact|} to $a^|
|00004c00| 7b 32 7d 2b 62 5e 7b 32 | 7d 2d 32 61 62 5c 63 6f |{2}+b^{2|}-2ab\co|
|00004c10| 73 20 5c 67 61 6d 6d 61 | 20 3d 63 5e 7b 32 7d 24 |s \gamma| =c^{2}$|
|00004c20| 0d 0a 74 6f 20 67 65 74 | 20 24 63 3d 5c 2c 31 2e |..to get| $c=\,1.|
|00004c30| 37 32 35 35 24 2e 0d 0a | 0d 0a 5c 69 74 65 6d 20 |7255$...|..\item |
|00004c40| 20 44 65 66 69 6e 65 20 | 24 63 3d 5c 2c 31 2e 37 | Define |$c=\,1.7|
|00004c50| 32 35 35 24 2e 0d 0a 0d | 0a 5c 69 74 65 6d 20 20 |255$....|.\item |
|00004c60| 41 70 70 6c 79 20 5c 74 | 65 78 74 73 66 7b 53 6f |Apply \t|extsf{So|
|00004c70| 6c 76 65 20 2b 20 45 78 | 61 63 74 7d 20 74 6f 20 |lve + Ex|act} to |
|00004c80| 62 6f 74 68 20 24 5c 64 | 66 72 61 63 7b 61 7d 7b |both $\d|frac{a}{|
|00004c90| 5c 73 69 6e 20 5c 61 6c | 70 68 61 20 7d 3d 5c 64 |\sin \al|pha }=\d|
|00004ca0| 66 72 61 63 7b 63 25 0d | 0a 7d 7b 5c 73 69 6e 20 |frac{c%.|.}{\sin |
|00004cb0| 5c 67 61 6d 6d 61 20 7d | 24 20 61 6e 64 20 24 5c |\gamma }|$ and $\|
|00004cc0| 64 66 72 61 63 7b 62 7d | 7b 5c 73 69 6e 20 5c 62 |dfrac{b}|{\sin \b|
|00004cd0| 65 74 61 20 7d 3d 5c 64 | 66 72 61 63 7b 63 7d 7b |eta }=\d|frac{c}{|
|00004ce0| 5c 73 69 6e 20 5c 67 61 | 6d 6d 61 20 7d 24 20 74 |\sin \ga|mma }$ t|
|00004cf0| 6f 20 67 65 74 20 0d 0a | 24 5c 61 6c 70 68 61 20 |o get ..|$\alpha |
|00004d00| 3d 2e 35 38 38 35 39 24 | 20 61 6e 64 20 24 5c 62 |=.58859$| and $\b|
|00004d10| 65 74 61 20 3d 31 2e 30 | 31 30 34 24 2e 0d 0a 5c |eta =1.0|104$...\|
|00004d20| 65 6e 64 7b 65 6e 75 6d | 65 72 61 74 65 7d 0d 0a |end{enum|erate}..|
|00004d30| 5c 65 6e 64 7b 65 78 61 | 6d 70 6c 65 7d 0d 0a 0d |\end{exa|mple}...|
|00004d40| 0a 5c 73 74 72 75 74 0d | 0a 0d 0a 41 20 74 72 69 |.\strut.|...A tri|
|00004d50| 61 6e 67 6c 65 20 77 69 | 74 68 20 74 68 72 65 65 |angle wi|th three|
|00004d60| 20 73 69 64 65 73 20 67 | 69 76 65 6e 20 69 73 20 | sides g|iven is |
|00004d70| 73 6f 6c 76 65 64 20 73 | 69 6d 69 6c 61 72 6c 79 |solved s|imilarly|
|00004d80| 3a 20 69 6e 74 65 72 63 | 68 61 6e 67 65 20 74 68 |: interc|hange th|
|00004d90| 65 0d 0a 61 63 74 69 6f | 6e 73 20 6f 6e 20 24 5c |e..actio|ns on $\|
|00004da0| 67 61 6d 6d 61 20 24 20 | 61 6e 64 20 24 63 24 20 |gamma $ |and $c$ |
|00004db0| 69 6e 20 74 68 65 20 73 | 74 65 70 73 20 6a 75 73 |in the s|teps jus|
|00004dc0| 74 20 64 65 73 63 72 69 | 62 65 64 2e 0d 0a 0d 0a |t descri|bed.....|
|00004dd0| 5c 73 74 72 75 74 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |\strut..|..\begin|
|00004de0| 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 | 7d 0d 0a 54 6f 20 73 6f |{example|}..To so|
|00004df0| 6c 76 65 20 61 20 74 72 | 69 61 6e 67 6c 65 20 67 |lve a tr|iangle g|
|00004e00| 69 76 65 6e 20 74 68 72 | 65 65 20 73 69 64 65 73 |iven thr|ee sides|
|00004e10| 2c 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 6e 75 6d |,....\be|gin{enum|
|00004e20| 65 72 61 74 65 7d 0d 0a | 5c 69 74 65 6d 20 20 44 |erate}..|\item D|
|00004e30| 65 66 69 6e 65 20 24 61 | 3d 32 2e 35 33 24 2c 20 |efine $a|=2.53$, |
|00004e40| 24 62 3d 34 2e 31 35 24 | 2c 20 61 6e 64 20 24 63 |$b=4.15$|, and $c|
|00004e50| 3d 36 2e 31 39 24 2e 0d | 0a 0d 0a 5c 69 74 65 6d |=6.19$..|...\item|
|00004e60| 20 20 41 70 70 6c 79 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b | Apply |\textsf{|
|00004e70| 53 6f 6c 76 65 20 2b 20 | 45 78 61 63 74 7d 20 74 |Solve + |Exact} t|
|00004e80| 6f 20 24 61 5e 7b 32 7d | 2b 62 5e 7b 32 7d 2d 32 |o $a^{2}|+b^{2}-2|
|00004e90| 61 62 5c 63 6f 73 20 5c | 67 61 6d 6d 61 20 3d 63 |ab\cos \|gamma =c|
|00004ea0| 5e 7b 32 7d 24 0d 0a 74 | 6f 20 67 65 74 20 24 5c |^{2}$..t|o get $\|
|00004eb0| 67 61 6d 6d 61 20 3d 32 | 2e 33 34 35 38 24 2e 0d |gamma =2|.3458$..|
|00004ec0| 0a 0d 0a 5c 69 74 65 6d | 20 20 44 65 66 69 6e 65 |...\item| Define|
|00004ed0| 20 24 5c 67 61 6d 6d 61 | 20 3d 32 2e 33 34 35 38 | $\gamma| =2.3458|
|00004ee0| 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 20 41 70 70 |$.....\i|tem App|
|00004ef0| 6c 79 20 5c 74 65 78 74 | 73 66 7b 53 6f 6c 76 65 |ly \text|sf{Solve|
|00004f00| 20 2b 20 45 78 61 63 74 | 7d 20 74 6f 20 24 5c 64 | + Exact|} to $\d|
|00004f10| 66 72 61 63 7b 61 7d 7b | 5c 73 69 6e 20 5c 61 6c |frac{a}{|\sin \al|
|00004f20| 70 68 61 20 7d 3d 5c 64 | 66 72 61 63 7b 63 7d 7b |pha }=\d|frac{c}{|
|00004f30| 25 0d 0a 5c 73 69 6e 20 | 5c 67 61 6d 6d 61 20 7d |%..\sin |\gamma }|
|00004f40| 24 20 74 6f 20 67 65 74 | 20 24 5c 61 6c 70 68 61 |$ to get| $\alpha|
|00004f50| 20 3d 2e 32 39 36 33 32 | 24 2c 20 61 6e 64 20 74 | =.29632|$, and t|
|00004f60| 6f 20 24 5c 64 66 72 61 | 63 7b 62 7d 7b 5c 73 69 |o $\dfra|c{b}{\si|
|00004f70| 6e 20 5c 62 65 74 61 20 | 7d 3d 25 0d 0a 5c 64 66 |n \beta |}=%..\df|
|00004f80| 72 61 63 7b 63 7d 7b 5c | 73 69 6e 20 5c 67 61 6d |rac{c}{\|sin \gam|
|00004f90| 6d 61 20 7d 24 20 74 6f | 20 67 65 74 20 24 5c 62 |ma }$ to| get $\b|
|00004fa0| 65 74 61 20 3d 2e 34 39 | 39 34 38 24 2e 0d 0a 5c |eta =.49|948$...\|
|00004fb0| 65 6e 64 7b 65 6e 75 6d | 65 72 61 74 65 7d 0d 0a |end{enum|erate}..|
|00004fc0| 5c 65 6e 64 7b 65 78 61 | 6d 70 6c 65 7d 0d 0a 0d |\end{exa|mple}...|
|00004fd0| 0a 5c 73 74 72 75 74 0d | 0a 0d 0a 5c 73 75 62 73 |.\strut.|...\subs|
|00004fe0| 65 63 74 69 6f 6e 7b 5c | 20 49 6e 76 65 72 73 65 |ection{\| Inverse|
|00004ff0| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 49 | 6e 76 65 72 73 65 20 74 |\label{I|nverse t|
|00005000| 72 69 67 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 73 7d 20 54 |rig func|tions} T|
|00005010| 72 69 67 6f 6e 6f 6d 65 | 74 72 69 63 20 46 75 6e |rigonome|tric Fun|
|00005020| 63 74 69 6f 6e 73 0d 0a | 61 6e 64 20 54 72 69 67 |ctions..|and Trig|
|00005030| 6f 6e 6f 6d 65 74 72 69 | 63 20 45 71 75 61 74 69 |onometri|c Equati|
|00005040| 6f 6e 73 7d 0d 0a 0d 0a | 54 68 65 20 66 6f 6c 6c |ons}....|The foll|
|00005050| 6f 77 69 6e 67 20 74 79 | 70 65 20 6f 66 20 71 75 |owing ty|pe of qu|
|00005060| 65 73 74 69 6f 6e 20 61 | 72 69 73 65 73 20 66 72 |estion a|rises fr|
|00005070| 65 71 75 65 6e 74 6c 79 | 20 77 68 65 6e 20 77 6f |equently| when wo|
|00005080| 72 6b 69 6e 67 20 77 69 | 74 68 20 74 68 65 0d 0a |rking wi|th the..|
|00005090| 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d | 65 74 72 69 63 20 66 75 |trigonom|etric fu|
|000050a0| 6e 63 74 69 6f 6e 73 3a | 20 66 6f 72 20 77 68 69 |nctions:| for whi|
|000050b0| 63 68 20 61 6e 67 6c 65 | 73 20 24 78 24 20 69 73 |ch angle|s $x$ is|
|000050c0| 20 24 5c 73 69 6e 20 78 | 3d 79 24 3f 20 54 68 65 | $\sin x|=y$? The|
|000050d0| 72 65 20 61 72 65 20 6d | 61 6e 79 0d 0a 63 6f 72 |re are m|any..cor|
|000050e0| 72 65 63 74 20 61 6e 73 | 77 65 72 73 20 74 6f 20 |rect ans|wers to |
|000050f0| 74 68 65 73 65 20 71 75 | 65 73 74 69 6f 6e 73 2c |these qu|estions,|
|00005100| 20 73 69 6e 63 65 20 74 | 68 65 20 74 72 69 67 6f | since t|he trigo|
|00005110| 6e 6f 6d 65 74 72 69 63 | 20 66 75 6e 63 74 69 6f |nometric| functio|
|00005120| 6e 73 20 61 72 65 0d 0a | 70 65 72 69 6f 64 69 63 |ns are..|periodic|
|00005130| 2e 20 54 68 65 20 69 6e | 76 65 72 73 65 20 74 72 |. The in|verse tr|
|00005140| 69 67 6f 6e 6f 6d 65 74 | 72 69 63 20 66 75 6e 63 |igonomet|ric func|
|00005150| 74 69 6f 6e 73 20 70 72 | 6f 76 69 64 65 20 61 6e |tions pr|ovide an|
|00005160| 73 77 65 72 73 20 74 6f | 20 73 75 63 68 0d 0a 71 |swers to| such..q|
|00005170| 75 65 73 74 69 6f 6e 73 | 20 74 68 61 74 20 6c 69 |uestions| that li|
|00005180| 65 20 77 69 74 68 69 6e | 20 61 20 72 65 73 74 72 |e within| a restr|
|00005190| 69 63 74 65 64 20 64 6f | 6d 61 69 6e 2e 20 54 68 |icted do|main. Th|
|000051a0| 65 20 69 6e 76 65 72 73 | 65 20 73 69 6e 65 20 66 |e invers|e sine f|
|000051b0| 75 6e 63 74 69 6f 6e 2c | 0d 0a 66 6f 72 20 65 78 |unction,|..for ex|
|000051c0| 61 6d 70 6c 65 2c 20 70 | 72 6f 64 75 63 65 73 20 |ample, p|roduces |
|000051d0| 74 68 65 20 61 6e 67 6c | 65 20 24 78 24 20 62 65 |the angl|e $x$ be|
|000051e0| 74 77 65 65 6e 20 24 2d | 5c 66 72 61 63 20 5c 70 |tween $-|\frac \p|
|000051f0| 69 20 32 24 20 61 6e 64 | 20 24 5c 66 72 61 63 20 |i 2$ and| $\frac |
|00005200| 5c 70 69 20 32 24 0d 0a | 74 68 61 74 20 73 61 74 |\pi 2$..|that sat|
|00005210| 69 73 66 69 65 73 20 24 | 5c 73 69 6e 20 78 3d 79 |isfies $|\sin x=y|
|00005220| 24 2e 20 54 68 69 73 20 | 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e |$. This |solution|
|00005230| 20 69 73 20 64 65 6e 6f | 74 65 64 20 62 79 20 24 | is deno|ted by $|
|00005240| 5c 61 72 63 73 69 6e 20 | 78 24 20 6f 72 20 24 5c |\arcsin |x$ or $\|
|00005250| 73 69 6e 0d 0a 5e 7b 2d | 31 7d 78 24 2e 0d 0a 0d |sin..^{-|1}x$....|
|00005260| 0a 54 68 65 20 69 6e 76 | 65 72 73 65 20 74 72 69 |.The inv|erse tri|
|00005270| 67 6f 6e 6f 6d 65 74 72 | 69 63 20 66 75 6e 63 74 |gonometr|ic funct|
|00005280| 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 | 20 61 20 6e 75 6d 62 65 |ions and| a numbe|
|00005290| 72 20 6f 66 20 6f 74 68 | 65 72 20 66 75 6e 63 74 |r of oth|er funct|
|000052a0| 69 6f 6e 73 20 61 72 65 | 0d 0a 61 76 61 69 6c 61 |ions are|..availa|
|000052b0| 62 6c 65 20 69 6e 20 74 | 68 65 20 64 69 61 6c 6f |ble in t|he dialo|
|000052c0| 67 20 62 6f 78 20 74 68 | 61 74 20 63 6f 6d 65 73 |g box th|at comes|
|000052d0| 20 75 70 20 77 68 65 6e | 20 79 6f 75 20 63 6c 69 | up when| you cli|
|000052e0| 63 6b 20 74 68 65 20 5c | 74 65 78 74 73 66 7b 4d |ck the \|textsf{M|
|000052f0| 61 74 68 0d 0a 4e 61 6d | 65 7d 20 62 75 74 74 6f |ath..Nam|e} butto|
|00005300| 6e 20 6f 6e 20 74 68 65 | 20 5c 74 65 78 74 73 66 |n on the| \textsf|
|00005310| 7b 4d 61 74 68 7d 20 74 | 6f 6f 6c 62 61 72 2e 20 |{Math} t|oolbar. |
|00005320| 54 68 65 79 20 63 61 6e | 20 61 6c 73 6f 20 62 65 |They can| also be|
|00005330| 20 65 6e 74 65 72 65 64 | 20 66 72 6f 6d 20 74 68 | entered| from th|
|00005340| 65 0d 0a 6b 65 79 62 6f | 61 72 64 20 69 6e 20 6d |e..keybo|ard in m|
|00005350| 61 74 68 65 6d 61 74 69 | 63 73 20 6d 6f 64 65 2e |athemati|cs mode.|
|00005360| 0d 0a 0d 0a 5c 73 74 72 | 75 74 0d 0a 0d 0a 5c 62 |....\str|ut....\b|
|00005370| 65 67 69 6e 7b 65 78 61 | 6d 70 6c 65 7d 0d 0a 54 |egin{exa|mple}..T|
|00005380| 6f 20 66 69 6e 64 20 0d | 0a 5c 69 6e 64 65 78 7b |o find .|.\index{|
|00005390| 49 6e 76 65 72 73 65 40 | 49 6e 76 65 72 73 65 21 |Inverse@|Inverse!|
|000053a0| 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d | 65 74 72 69 63 20 66 75 |trigonom|etric fu|
|000053b0| 6e 63 74 69 6f 6e 73 40 | 74 72 69 67 6f 6e 6f 6d |nctions@|trigonom|
|000053c0| 65 74 72 69 63 20 66 75 | 6e 63 74 69 6f 6e 73 7d |etric fu|nctions}|
|000053d0| 74 68 65 0d 0a 61 6e 67 | 6c 65 20 24 78 24 20 28 |the..ang|le $x$ (|
|000053e0| 62 65 74 77 65 65 6e 20 | 24 2d 25 0d 0a 5c 66 72 |between |$-%..\fr|
|000053f0| 61 63 7b 5c 70 69 20 7d | 7b 32 7d 24 20 61 6e 64 |ac{\pi }|{2}$ and|
|00005400| 20 24 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 69 20 7d 7b 32 7d | $\frac{|\pi }{2}|
|00005410| 24 29 20 66 6f 72 20 77 | 68 69 63 68 20 24 5c 74 |$) for w|hich $\t|
|00005420| 61 6e 20 78 3d 31 30 30 | 24 2c 0d 0a 0d 0a 5c 62 |an x=100|$,....\b|
|00005430| 65 67 69 6e 7b 69 74 65 | 6d 69 7a 65 7d 0d 0a 5c |egin{ite|mize}..\|
|00005440| 69 74 65 6d 20 20 4c 65 | 61 76 65 20 74 68 65 20 |item Le|ave the |
|00005450| 69 6e 73 65 72 74 69 6f | 6e 20 70 6f 69 6e 74 20 |insertio|n point |
|00005460| 69 6e 20 74 68 65 20 65 | 78 70 72 65 73 73 69 6f |in the e|xpressio|
|00005470| 6e 20 24 5c 61 72 63 74 | 61 6e 20 31 30 30 2e 24 |n $\arct|an 100.$|
|00005480| 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 65 | 6d 20 20 41 70 70 6c 79 |....\ite|m Apply|
|00005490| 20 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 45 76 61 6c 75 61 74 | \textsf|{Evaluat|
|000054a0| 65 20 4e 75 6d 65 72 69 | 63 61 6c 6c 79 7d 24 5c |e Numeri|cally}$\|
|000054b0| 2c 24 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 69 74 65 6d 69 7a 65 |,$..\end|{itemize|
|000054c0| 7d 0d 0a 0d 0a 54 68 69 | 73 20 67 69 76 65 73 5c |}....Thi|s gives\|
|000054d0| 74 65 78 74 73 66 7b 5c | 20 7d 24 5c 61 72 63 74 |textsf{\| }$\arct|
|000054e0| 61 6e 20 31 30 30 3d 5c | 2c 31 2e 35 36 30 37 39 |an 100=\|,1.56079|
|000054f0| 36 36 36 24 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 78 61 6d 70 |666$..\e|nd{examp|
|00005500| 6c 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 73 74 72 75 74 0d 0a 0d |le}....\|strut...|
|00005510| 0a 59 6f 75 20 63 61 6e | 20 61 6c 73 6f 20 66 69 |.You can| also fi|
|00005520| 6e 64 20 61 6e 20 61 6e | 67 6c 65 20 73 61 74 69 |nd an an|gle sati|
|00005530| 73 66 79 69 6e 67 20 24 | 5c 74 61 6e 20 78 3d 31 |sfying $|\tan x=1|
|00005540| 30 30 24 20 62 79 20 61 | 70 70 6c 79 69 6e 67 20 |00$ by a|pplying |
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