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|00002ac0| 0a 24 5c 70 69 20 3d 5c | 2c 33 2e 31 34 24 20 69 |.$\pi =\|,3.14$ i|
|00002ad0| 73 20 66 61 6c 73 65 0d | 0a 0d 0a 24 5c 61 72 63 |s false.|...$\arc|
|00002ae0| 73 69 6e 20 5c 73 69 6e | 20 74 3d 74 24 20 69 73 |sin \sin| t=t$ is|
|00002af0| 20 75 6e 64 65 63 69 64 | 61 62 6c 65 0d 0a 5c 65 | undecid|able..\e|
|00002b00| 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d |nd{quota|tion}...|
|00002b10| 0a 5c 20 0d 0a 0d 0a 59 | 6f 75 20 63 61 6e 20 61 |.\ ....Y|ou can a|
|00002b20| 6c 73 6f 20 75 73 65 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b |lso use |\textsf{|
|00002b30| 43 68 65 63 6b 20 45 71 | 75 61 6c 69 74 79 20 7d |Check Eq|uality }|
|00002b40| 74 6f 20 63 68 65 63 6b | 20 61 6e 20 5c 65 6d 70 |to check| an \emp|
|00002b50| 68 7b 69 6e 65 71 75 61 | 6c 69 74 79 7d 0d 0a 62 |h{inequa|lity}..b|
|00002b60| 65 74 77 65 65 6e 20 74 | 77 6f 20 6e 75 6d 62 65 |etween t|wo numbe|
|00002b70| 72 73 2e 20 53 65 74 20 | 74 68 65 20 64 69 66 66 |rs. Set |the diff|
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|00002b90| 6f 20 6e 75 6d 62 65 72 | 73 20 65 71 75 61 6c 20 |o number|s equal |
|00002ba0| 74 6f 20 74 68 65 0d 0a | 61 62 73 6f 6c 75 74 65 |to the..|absolute|
|00002bb0| 20 76 61 6c 75 65 20 6f | 66 20 74 68 65 20 64 69 | value o|f the di|
|00002bc0| 66 66 65 72 65 6e 63 65 | 2c 20 70 6c 61 63 65 20 |fference|, place |
|00002bd0| 74 68 65 20 69 6e 73 65 | 72 74 69 6f 6e 20 70 6f |the inse|rtion po|
|00002be0| 69 6e 74 20 69 6e 20 74 | 68 65 20 65 71 75 61 74 |int in t|he equat|
|00002bf0| 69 6f 6e 2c 0d 0a 61 6e | 64 20 63 68 6f 6f 73 65 |ion,..an|d choose|
|00002c00| 20 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 43 68 65 63 6b 20 45 | \textsf|{Check E|
|00002c10| 71 75 61 6c 69 74 79 7d | 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |quality}|.....\be|
|00002c20| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 24 5c 62 6c |gin{quot|e}..$\bl|
|00002c30| 61 63 6b 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 72 69 67 68 74 |acktrian|gleright|
|00002c40| 20 24 20 5c 74 65 78 74 | 73 66 7b 43 68 65 63 6b | $ \text|sf{Check|
|00002c50| 20 45 71 75 61 6c 69 74 | 79 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | Equalit|y}..\end|
|00002c60| 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |{quote}.|...\begi|
|00002c70| 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 25 |n{quotat|ion}..$%|
|00002c80| 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b | 39 7d 7b 38 7d 2d 5c 66 |..\frac{|9}{8}-\f|
|00002c90| 72 61 63 7b 38 7d 7b 39 | 7d 3d 5c 6c 65 66 74 7c |rac{8}{9|}=\left||
|00002ca0| 20 5c 66 72 61 63 7b 39 | 7d 7b 38 7d 2d 5c 66 72 | \frac{9|}{8}-\fr|
|00002cb0| 61 63 7b 38 7d 7b 39 7d | 5c 72 69 67 68 74 7c 20 |ac{8}{9}|\right| |
|00002cc0| 24 20 69 73 20 74 72 75 | 65 0d 0a 0d 0a 24 5c 70 |$ is tru|e....$\p|
|00002cd0| 69 20 5e 7b 65 7d 2d 65 | 5e 7b 5c 70 69 20 7d 3d |i ^{e}-e|^{\pi }=|
|00002ce0| 5c 6c 65 66 74 7c 20 5c | 70 69 20 5e 7b 65 7d 2d |\left| \|pi ^{e}-|
|00002cf0| 65 5e 7b 5c 70 69 20 7d | 5c 72 69 67 68 74 7c 20 |e^{\pi }|\right| |
|00002d00| 24 20 69 73 20 66 61 6c | 73 65 0d 0a 5c 65 6e 64 |$ is fal|se..\end|
|00002d10| 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a 54 |{quotati|on}....T|
|00002d20| 68 65 73 65 20 72 65 73 | 75 6c 74 73 20 76 65 72 |hese res|ults ver|
|00002d30| 69 66 79 20 74 68 61 74 | 20 24 5c 66 72 61 63 20 |ify that| $\frac |
|00002d40| 39 38 2d 5c 66 72 61 63 | 20 38 39 5c 67 65 71 20 |98-\frac| 89\geq |
|00002d50| 30 24 2c 20 6f 72 20 24 | 5c 66 72 61 63 20 39 38 |0$, or $|\frac 98|
|00002d60| 5c 67 65 71 20 5c 66 72 | 61 63 0d 0a 38 39 24 3b |\geq \fr|ac..89$;|
|00002d70| 20 61 6e 64 20 74 68 61 | 74 20 24 5c 70 69 20 5e | and tha|t $\pi ^|
|00002d80| 65 2d 65 5e 5c 70 69 20 | 3c 30 24 2c 20 6f 72 20 |e-e^\pi |<0$, or |
|00002d90| 24 5c 70 69 20 5e 65 3c | 65 5e 5c 70 69 20 24 2e |$\pi ^e<|e^\pi $.|
|00002da0| 0d 0a 0d 0a 49 6e 20 6d | 6f 73 74 20 63 61 73 65 |....In m|ost case|
|00002db0| 73 2c 20 79 6f 75 20 63 | 61 6e 20 72 65 63 6f 67 |s, you c|an recog|
|00002dc0| 6e 69 7a 65 20 61 6e 20 | 69 6e 65 71 75 61 6c 69 |nize an |inequali|
|00002dd0| 74 79 20 62 79 20 69 6e | 73 70 65 63 74 69 6f 6e |ty by in|spection|
|00002de0| 20 61 66 74 65 72 20 61 | 70 70 6c 79 69 6e 67 20 | after a|pplying |
|00002df0| 0d 0a 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 45 76 61 6c 75 61 |..\texts|f{Evalua|
|00002e00| 74 65 20 4e 75 6d 65 72 | 69 63 61 6c 6c 79 7d 20 |te Numer|ically} |
|00002e10| 74 6f 20 65 61 63 68 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 6e |to each |of the n|
|00002e20| 75 6d 62 65 72 73 2e 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |umbers..|...\begi|
|00002e30| 6e 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 24 5c 62 6c 61 63 |n{quote}|..$\blac|
|00002e40| 6b 74 72 69 61 6e 67 6c | 65 72 69 67 68 74 20 24 |ktriangl|eright $|
|00002e50| 20 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 45 76 61 6c 75 61 74 | \textsf|{Evaluat|
|00002e60| 65 20 4e 75 6d 65 72 69 | 63 61 6c 6c 79 7d 0d 0a |e Numeri|cally}..|
|00002e70| 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c |\end{quo|te}....\|
|00002e80| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d |begin{qu|otation}|
|00002e90| 0d 0a 24 5c 66 72 61 63 | 7b 39 7d 7b 38 7d 3d 5c |..$\frac|{9}{8}=\|
|00002ea0| 2c 31 2e 31 32 35 24 5c | 71 71 75 61 64 20 24 5c |,1.125$\|qquad $\|
|00002eb0| 71 71 75 61 64 20 5c 71 | 71 75 61 64 20 24 0d 0a |qquad \q|quad $..|
|00002ec0| 0d 0a 24 5c 66 72 61 63 | 7b 38 7d 7b 39 7d 3d 5c |..$\frac|{8}{9}=\|
|00002ed0| 2c 2e 38 38 38 38 38 38 | 38 38 38 39 24 0d 0a 0d |,.888888|8889$...|
|00002ee0| 0a 24 5c 70 69 20 5e 7b | 65 7d 3d 5c 2c 32 32 2e |.$\pi ^{|e}=\,22.|
|00002ef0| 34 35 39 31 35 37 37 31 | 24 5c 71 71 75 61 64 0d |45915771|$\qquad.|
|00002f00| 0a 0d 0a 24 5c 3b 65 5e | 7b 5c 70 69 20 7d 3d 5c |...$\;e^|{\pi }=\|
|00002f10| 2c 32 33 2e 31 34 30 36 | 39 32 36 34 24 0d 0a 5c |,23.1406|9264$..\|
|00002f20| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |end{quot|ation}..|
|00002f30| 0d 0a 5c 73 74 72 75 74 | 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 62 |..\strut|....\sub|
|00002f40| 73 65 63 74 69 6f 6e 7b | 5c 20 55 6e 69 6f 6e 20 |section{|\ Union |
|00002f50| 61 6e 64 20 49 6e 74 65 | 72 73 65 63 74 69 6f 6e |and Inte|rsection|
|00002f60| 20 0d 0a 5c 69 6e 64 65 | 78 7b 55 6e 69 6f 6e 40 | ..\inde|x{Union@|
|00002f70| 55 6e 69 6f 6e 7d 5c 6c | 61 62 65 6c 7b 55 6e 69 |Union}\l|abel{Uni|
|00002f80| 6f 6e 7d 7d 0d 0a 0d 0a | 59 6f 75 20 63 61 6e 20 |on}}....|You can |
|00002f90| 66 69 6e 64 20 74 68 65 | 20 75 6e 69 6f 6e 20 6f |find the| union o|
|00002fa0| 66 20 74 77 6f 20 6f 72 | 20 6d 6f 72 65 20 66 69 |f two or| more fi|
|00002fb0| 6e 69 74 65 20 73 65 74 | 73 20 77 69 74 68 20 5c |nite set|s with \|
|00002fc0| 74 65 78 74 73 66 7b 45 | 76 61 6c 75 61 74 65 7d |textsf{E|valuate}|
|00002fd0| 2c 20 62 79 0d 0a 75 73 | 69 6e 67 20 74 68 65 20 |, by..us|ing the |
|00002fe0| 73 79 6d 62 6f 6c 20 24 | 5c 63 75 70 20 24 20 62 |symbol $|\cup $ b|
|00002ff0| 65 74 77 65 65 6e 20 74 | 68 65 20 73 65 74 73 2e |etween t|he sets.|
|00003000| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 |....\beg|in{quote|
|00003010| 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 | 63 6b 74 72 69 61 6e 67 |}..$\bla|cktriang|
|00003020| 6c 65 72 69 67 68 74 20 | 24 20 5c 74 65 78 74 73 |leright |$ \texts|
|00003030| 66 7b 45 76 61 6c 75 61 | 74 65 7d 0d 0a 5c 65 6e |f{Evalua|te}..\en|
|00003040| 64 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |d{quote}|....\beg|
|00003050| 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 |in{quota|tion}..$|
|00003060| 5c 6c 65 66 74 5c 7b 20 | 31 2c 32 2c 33 5c 72 69 |\left\{ |1,2,3\ri|
|00003070| 67 68 74 5c 7d 20 5c 63 | 75 70 20 5c 6c 65 66 74 |ght\} \c|up \left|
|00003080| 5c 7b 20 61 2c 62 2c 63 | 5c 72 69 67 68 74 5c 7d |\{ a,b,c|\right\}|
|00003090| 20 3d 25 0d 0a 5c 76 73 | 70 61 63 65 7b 36 70 74 | =%..\vs|pace{6pt|
|000030a0| 7d 5c 6c 65 66 74 5c 7b | 20 31 2c 32 2c 33 2c 61 |}\left\{| 1,2,3,a|
|000030b0| 2c 62 2c 63 5c 72 69 67 | 68 74 5c 7d 20 24 0d 0a |,b,c\rig|ht\} $..|
|000030c0| 0d 0a 24 5c 6c 65 66 74 | 5c 7b 20 31 2c 32 2c 33 |..$\left|\{ 1,2,3|
|000030d0| 5c 72 69 67 68 74 5c 7d | 20 5c 63 75 70 20 5c 6c |\right\}| \cup \l|
|000030e0| 65 66 74 5c 7b 20 33 2c | 35 5c 72 69 67 68 74 5c |eft\{ 3,|5\right\|
|000030f0| 7d 20 5c 63 75 70 20 5c | 6c 65 66 74 5c 7b 20 37 |} \cup \|left\{ 7|
|00003100| 5c 72 69 67 68 74 5c 7d | 20 0d 0a 5c 76 73 70 61 |\right\}| ..\vspa|
|00003110| 63 65 7b 36 70 74 7d 3d | 5c 6c 65 66 74 5c 7b 20 |ce{6pt}=|\left\{ |
|00003120| 31 2c 32 2c 33 2c 35 2c | 37 5c 72 69 67 68 74 5c |1,2,3,5,|7\right\|
|00003130| 7d 20 24 0d 0a 0d 0a 24 | 5c 6c 65 66 74 5c 7b 20 |} $....$|\left\{ |
|00003140| 5c 73 71 72 74 7b 32 7d | 2c 5c 70 69 20 2c 33 2e |\sqrt{2}|,\pi ,3.|
|00003150| 39 2c 72 5c 72 69 67 68 | 74 5c 7d 20 5c 63 75 70 |9,r\righ|t\} \cup|
|00003160| 20 5c 6c 65 66 74 5c 7b | 20 61 2c 62 2c 63 5c 72 | \left\{| a,b,c\r|
|00003170| 69 67 68 74 5c 7d 20 3d | 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 |ight\} =|\allowbr|
|00003180| 65 61 6b 0d 0a 5c 6c 65 | 66 74 5c 7b 20 5c 70 69 |eak..\le|ft\{ \pi|
|00003190| 20 2c 72 2c 61 2c 62 2c | 63 2c 33 2e 5c 2c 39 2c | ,r,a,b,|c,3.\,9,|
|000031a0| 5c 73 71 72 74 7b 32 7d | 5c 72 69 67 68 74 5c 7d |\sqrt{2}|\right\}|
|000031b0| 20 24 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | $..\end|{quotati|
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