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|000031a0| 68 69 73 20 6c 61 74 74 | 65 72 20 66 6f 72 6d 2e |his latt|er form.|
|000031b0| 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |\medskip|....\beg|
|000031c0| 69 6e 7b 65 78 61 6d 70 | 6c 65 7d 0d 0a 43 6f 6e |in{examp|le}..Con|
|000031d0| 73 69 64 65 72 20 74 68 | 65 20 73 79 73 74 65 6d |sider th|e system|
|000031e0| 20 6f 66 20 74 77 6f 20 | 63 6f 6e 67 72 75 65 6e | of two |congruen|
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|00003230| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 5c 0d 0a 78 20 26 5c 65 |right) \|\..x &\e|
|00003240| 71 75 69 76 20 26 31 39 | 5c 2c 5c 6c 65 66 74 28 |quiv &19|\,\left(|
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|00003280| 69 6e 67 2c 20 24 5c 67 | 63 64 20 28 32 33 37 2c |ing, $\g|cd (237,|
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|000032c0| 6d 65 2e 20 54 68 65 0d | 0a 66 69 72 73 74 20 63 |me. The.|.first c|
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|000032e0| 20 72 65 77 72 69 74 74 | 65 6e 20 69 6e 20 74 68 | rewritt|en in th|
|000032f0| 65 20 66 6f 72 6d 20 24 | 78 3d 34 35 2b 32 33 37 |e form $|x=45+237|
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|00003310| 67 65 72 20 24 25 0d 0a | 6b 20 24 2e 20 53 75 62 |ger $%..|k $. Sub|
|00003320| 73 74 69 74 75 74 69 6e | 67 20 74 68 69 73 20 76 |stitutin|g this v|
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|00003350| 20 77 65 20 73 65 65 20 | 74 68 61 74 20 0d 0a 5c | we see |that ..\|
|00003360| 5b 0d 0a 34 35 2b 32 33 | 37 6b 3d 31 39 2b 34 31 |[..45+23|7k=19+41|
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|000033e0| 77 68 69 63 68 20 68 61 | 73 20 74 68 65 20 73 6f |which ha|s the so|
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|00003400| 31 39 2d 34 35 29 2f 32 | 33 37 5c 6c 69 6d 66 75 |19-45)/2|37\limfu|
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|00003420| 5c 5d 0d 0a 48 65 6e 63 | 65 2c 20 0d 0a 5c 5b 0d |\]..Henc|e, ..\[.|
|00003430| 0a 78 3d 34 35 2b 32 33 | 37 5c 63 64 6f 74 20 36 |.x=45+23|7\cdot 6|
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|00003450| 65 63 6b 69 6e 67 2c 20 | 24 31 34 32 36 35 5c 6c |ecking, |$14265\l|
|00003460| 69 6d 66 75 6e 63 7b 6d | 6f 64 7d 32 33 37 3d 34 |imfunc{m|od}237=4|
|00003470| 35 24 20 61 6e 64 20 24 | 31 34 32 36 35 5c 6c 69 |5$ and $|14265\li|
|00003480| 6d 66 75 6e 63 7b 6d 6f | 64 7d 34 31 39 3d 31 39 |mfunc{mo|d}419=19|
|00003490| 24 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 |$...\end|{example|
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|000034b0| 62 65 67 69 6e 7b 65 78 | 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a |begin{ex|ample}..|
|000034c0| 54 68 65 20 63 6f 6d 70 | 6c 65 74 65 20 73 65 74 |The comp|lete set|
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|000034f0| 78 3d 31 34 32 36 35 2b | 32 33 37 5c 63 64 6f 74 |x=14265+|237\cdot|
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|00003590| 0a 78 5c 65 71 75 69 76 | 20 31 34 32 36 35 5c 2c |.x\equiv| 14265\,|
|000035a0| 5c 6c 65 66 74 28 20 5c | 6c 69 6d 66 75 6e 63 7b |\left( \|limfunc{|
|000035b0| 6d 6f 64 7d 39 39 33 30 | 33 5c 72 69 67 68 74 29 |mod}9930|3\right)|
|000035c0| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 78 61 6d | ..\]..\|end{exam|
|000035d0| 70 6c 65 7d 0d 0a 0d 0a | 49 6e 20 67 65 6e 65 72 |ple}....|In gener|
|000035e0| 61 6c 2c 20 69 66 20 24 | 6d 24 20 61 6e 64 20 24 |al, if $|m$ and $|
|000035f0| 6e 24 20 61 72 65 20 72 | 65 6c 61 74 69 76 65 6c |n$ are r|elativel|
|00003600| 79 20 70 72 69 6d 65 2c | 20 74 68 65 6e 20 61 20 |y prime,| then a |
|00003610| 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | 20 74 6f 20 74 68 65 20 |solution| to the |
|00003620| 70 61 69 72 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 65 71 |pair ..\|begin{eq|
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|00003640| 75 69 76 20 26 61 5c 2c | 5c 6c 65 66 74 28 20 5c |uiv &a\,|\left( \|
|00003650| 6c 69 6d 66 75 6e 63 7b | 6d 6f 64 7d 6d 5c 72 69 |limfunc{|mod}m\ri|
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|00003670| 69 76 20 26 62 5c 2c 5c | 6c 65 66 74 28 20 5c 6c |iv &b\,\|left( \l|
|00003680| 69 6d 66 75 6e 63 7b 6d | 6f 64 7d 6e 5c 72 69 67 |imfunc{m|od}n\rig|
|00003690| 68 74 29 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 71 6e 61 72 72 |ht)..\en|d{eqnarr|
|000036a0| 61 79 2a 7d 0d 0a 69 73 | 20 67 69 76 65 6e 20 62 |ay*}..is| given b|
|000036b0| 79 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | 78 3d 61 2b 6d 5c 6c 65 |y ..\[..|x=a+m\le|
|000036c0| 66 74 5b 20 28 62 2d 61 | 29 2f 6d 5c 6c 69 6d 66 |ft[ (b-a|)/m\limf|
|000036d0| 75 6e 63 7b 6d 6f 64 7d | 6e 5c 72 69 67 68 74 5d |unc{mod}|n\right]|
|000036e0| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 41 | 20 63 6f 6d 70 6c 65 74 | ..\]..A| complet|
|000036f0| 65 20 73 65 74 20 6f 66 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f |e set of| solutio|
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|00003710| 0a 5c 5b 0d 0a 78 3d 61 | 2b 6d 5c 6c 65 66 74 5b |.\[..x=a|+m\left[|
|00003720| 20 28 62 2d 61 29 2f 6d | 5c 6c 69 6d 66 75 6e 63 | (b-a)/m|\limfunc|
|00003730| 7b 6d 6f 64 7d 6e 5c 72 | 69 67 68 74 5d 20 2b 72 |{mod}n\r|ight] +r|
|00003740| 6d 6e 20 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 77 68 65 72 65 20 24 |mn ..\].|.where $|
|00003750| 72 24 20 69 73 20 61 6e | 20 61 72 62 69 74 72 61 |r$ is an| arbitra|
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|00003770| 6b 69 70 0d 0a 0d 0a 5c | 73 75 62 73 65 63 74 69 |kip....\|subsecti|
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|000037d0| 65 20 72 65 6d 61 69 6e | 64 65 72 20 74 68 65 6f |e remain|der theo|
|000037e0| 72 65 6d 7d 7d 0d 0a 0d | 0a 59 6f 75 20 63 61 6e |rem}}...|.You can|
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|00004330| 20 0d 0a 32 33 38 39 30 | 38 36 34 30 39 34 5c 6c | ..23890|864094\l|
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|00004390| 5c 6c 6f 6e 67 6c 65 66 | 74 72 69 67 68 74 61 72 |\longlef|trightar|
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|00004430| 20 3d 34 35 36 20 5c 5c | 20 0d 0a 31 38 38 33 32 | =456 \\| ..18832|
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|00004490| 32 38 39 34 35 36 5c 6c | 69 6d 66 75 6e 63 7b 6d |289456\l|imfunc{m|
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|000044b0| 20 0d 0a 31 38 38 33 32 | 38 39 34 35 36 5c 6c 69 | ..18832|89456\li|
|000044c0| 6d 66 75 6e 63 7b 6d 6f | 64 7d 31 30 30 39 20 26 |mfunc{mo|d}1009 &|
|000044d0| 20 3d 33 37 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | =37..\e|nd{array|
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