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|000007b0| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 5c 20 5c | ..\[..\|frac{\ \|
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|00000800| 34 2d 33 5c 72 69 67 68 | 74 7c 20 2b 5c 6c 65 66 |4-3\righ|t| +\lef|
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|00000820| 7d 7b 35 7d 3d 5c 2c 5c | 66 72 61 63 7b 36 7d 7b |}{5}=\,\|frac{6}{|
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|000008f0| 74 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 | 62 73 65 63 74 69 6f 6e |t....\su|bsection|
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|00000ab0| 0d 0a 5c 20 0d 0a 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 |..\ ....|\begin{q|
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|00000c20| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 71 75 6f 74 61 74 69 |..\begin|{quotati|
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|00000cb0| 72 69 67 68 74 5d 20 24 | 2c 20 56 61 72 69 61 6e |right] $|, Varian|
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|00000ce0| 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left[ ..|\begin{a|
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|00000d20| 35 20 26 20 30 20 26 20 | 30 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |5 & 0 & |0..\end{|
|00000d30| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 5d 20 |array}..|\right] |
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|00000d90| 65 67 69 6e 7b 61 72 72 | 61 79 7d 7b 63 63 7d 0d |egin{arr|ay}{cc}.|
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|00000db0| 62 20 5c 5c 20 0d 0a 63 | 20 26 20 64 0d 0a 5c 65 |b \\ ..c| & d..\e|
|00000dc0| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
|00000dd0| 74 29 20 24 2c 20 56 61 | 72 69 61 6e 63 65 28 73 |t) $, Va|riance(s|
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|00000e00| 20 5e 7b 32 7d 2b 5c 6c | 65 66 74 28 0d 0a 2e 35 | ^{2}+\l|eft(...5|
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|00001480| 0a 39 2e 37 20 26 20 36 | 2e 33 20 26 20 2d 39 2e |.9.7 & 6|.3 & -9.|
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|00002a60| 79 7d 20 63 6f 72 72 65 | 6c 61 74 65 64 2e 20 54 |y} corre|lated. T|
|00002a70| 68 65 20 66 6f 72 6d 75 | 6c 61 20 66 6f 72 20 74 |he formu|la for t|
|00002a80| 68 65 20 63 6f 65 66 66 | 69 63 69 65 6e 74 20 6f |he coeff|icient o|
|00002a90| 66 0d 0a 63 6f 72 72 65 | 6c 61 74 69 6f 6e 20 66 |f..corre|lation f|
|00002aa0| 6f 72 20 74 77 6f 20 72 | 61 6e 64 6f 6d 20 76 61 |or two r|andom va|
|00002ab0| 72 69 61 62 6c 65 73 20 | 69 73 20 0d 0a 5c 5b 0d |riables |is ..\[.|
|00002ac0| 0a 5c 72 68 6f 20 3d 5c | 72 68 6f 20 5c 6c 65 66 |.\rho =\|rho \lef|
|00002ad0| 74 28 20 58 2c 59 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 3d 25 |t( X,Y\r|ight) =%|
|00002ae0| 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b | 5c 6c 69 6d 66 75 6e 63 |..\frac{|\limfunc|
|00002af0| 7b 43 6f 76 7d 5c 6c 65 | 66 74 28 20 58 2c 59 5c |{Cov}\le|ft( X,Y\|
|00002b00| 72 69 67 68 74 29 20 7d | 7b 5c 73 69 67 6d 61 20 |right) }|{\sigma |
|00002b10| 5f 7b 78 7d 5c 73 69 67 | 6d 61 20 5f 7b 79 7d 7d |_{x}\sig|ma _{y}}|
|00002b20| 3d 5c 66 72 61 63 7b 5c | 73 69 67 6d 61 0d 0a 5f |=\frac{\|sigma.._|
|00002b30| 7b 78 79 7d 7d 7b 5c 73 | 69 67 6d 61 20 5f 7b 78 |{xy}}{\s|igma _{x|
|00002b40| 7d 5c 73 69 67 6d 61 20 | 5f 7b 79 7d 7d 20 0d 0a |}\sigma |_{y}} ..|
|00002b50| 5c 5d 0d 0a 77 68 65 72 | 65 20 24 5c 73 69 67 6d |\]..wher|e $\sigm|
|00002b60| 61 20 5f 7b 78 7d 24 20 | 61 6e 64 20 24 5c 73 69 |a _{x}$ |and $\si|
|00002b70| 67 6d 61 20 5f 7b 79 7d | 24 20 61 72 65 20 74 68 |gma _{y}|$ are th|
|00002b80| 65 20 73 74 61 6e 64 61 | 72 64 20 64 65 76 69 61 |e standa|rd devia|
|00002b90| 74 69 6f 6e 73 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 74 77 6f |tions of| the two|
|00002ba0| 0d 0a 72 61 6e 64 6f 6d | 20 76 61 72 69 61 62 6c |..random| variabl|
|00002bb0| 65 73 2e 0d 0a 0d 0a 54 | 6f 20 63 6f 6d 70 75 74 |es.....T|o comput|
|00002bc0| 65 20 74 68 65 20 63 6f | 65 66 66 69 63 69 65 6e |e the co|efficien|
|00002bd0| 74 20 6f 66 20 63 6f 72 | 72 65 6c 61 74 69 6f 6e |t of cor|relation|
|00002be0| 20 62 65 74 77 65 65 6e | 20 74 77 6f 20 73 61 6d | between| two sam|
|00002bf0| 70 6c 65 73 2c 20 65 6e | 74 65 72 20 74 68 65 0d |ples, en|ter the.|
|00002c00| 0a 64 61 74 61 20 61 73 | 20 74 77 6f 20 63 6f 6c |.data as| two col|
|00002c10| 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 | 61 20 6d 61 74 72 69 78 |umns of |a matrix|
|00002c20| 20 61 6e 64 2c 20 66 72 | 6f 6d 20 74 68 65 20 5c | and, fr|om the \|
|00002c30| 74 65 78 74 73 66 7b 53 | 74 61 74 69 73 74 69 63 |textsf{S|tatistic|
|00002c40| 73 7d 20 73 75 62 6d 65 | 6e 75 20 0d 0a 5c 69 6e |s} subme|nu ..\in|
|00002c50| 64 65 78 7b 43 6f 65 66 | 66 69 63 69 65 6e 74 20 |dex{Coef|ficient |
|00002c60| 6f 66 20 63 6f 72 72 65 | 6c 61 74 69 6f 6e 40 43 |of corre|lation@C|
|00002c70| 6f 65 66 66 69 63 69 65 | 6e 74 20 6f 66 20 63 6f |oefficie|nt of co|
|00002c80| 72 72 65 6c 61 74 69 6f | 6e 7d 5c 6c 61 62 65 6c |rrelatio|n}\label|
|00002c90| 25 0d 0a 7b 43 6f 65 66 | 66 69 63 69 65 6e 74 20 |%..{Coef|ficient |
|00002ca0| 6f 66 20 63 6f 72 72 65 | 6c 61 74 69 6f 6e 7d 63 |of corre|lation}c|
|00002cb0| 68 6f 6f 73 65 20 5c 74 | 65 78 74 73 66 7b 43 6f |hoose \t|extsf{Co|
|00002cc0| 72 72 65 6c 61 74 69 6f | 6e 7d 2e 20 59 6f 75 20 |rrelatio|n}. You |
|00002cd0| 63 61 6e 20 61 70 70 6c | 79 20 74 68 69 73 0d 0a |can appl|y this..|
|00002ce0| 6f 70 65 72 61 74 69 6f | 6e 20 74 6f 20 61 6e 79 |operatio|n to any|
|00002cf0| 20 73 69 7a 65 20 6d 61 | 74 72 69 78 20 74 6f 20 | size ma|trix to |
|00002d00| 67 65 74 20 74 68 65 20 | 63 6f 65 66 66 69 63 69 |get the |coeffici|
|00002d10| 65 6e 74 20 6f 66 20 63 | 6f 72 72 65 6c 61 74 69 |ent of c|orrelati|
|00002d20| 6f 6e 20 66 6f 72 20 65 | 61 63 68 0d 0a 70 61 69 |on for e|ach..pai|
|00002d30| 72 20 6f 66 20 63 6f 6c | 75 6d 6e 73 3a 20 54 68 |r of col|umns: Th|
|00002d40| 65 20 6e 75 6d 62 65 72 | 20 69 6e 20 74 68 65 20 |e number| in the |
|00002d50| 24 69 2c 6a 24 20 70 6f | 73 69 74 69 6f 6e 20 69 |$i,j$ po|sition i|
|00002d60| 73 20 74 68 65 20 63 6f | 65 66 66 69 63 69 65 6e |s the co|efficien|
|00002d70| 74 20 6f 66 0d 0a 63 6f | 72 72 65 6c 61 74 69 6f |t of..co|rrelatio|
|00002d80| 6e 20 62 65 74 77 65 65 | 6e 20 63 6f 6c 75 6d 6e |n betwee|n column|
|00002d90| 20 24 69 24 20 61 6e 64 | 20 63 6f 6c 75 6d 6e 20 | $i$ and| column |
|00002da0| 24 6a 24 2e 20 41 20 63 | 6f 72 72 65 6c 61 74 69 |$j$. A c|orrelati|
|00002db0| 6f 6e 20 6d 61 74 72 69 | 78 20 69 73 0d 0a 61 6c |on matri|x is..al|
|00002dc0| 77 61 79 73 20 73 79 6d | 6d 65 74 72 69 63 2c 20 |ways sym|metric, |
|00002dd0| 77 69 74 68 20 6f 6e 65 | 73 20 6f 6e 20 74 68 65 |with one|s on the|
|00002de0| 20 6d 61 69 6e 20 64 69 | 61 67 6f 6e 61 6c 2e 0d | main di|agonal..|
|00002df0| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 65 7d |...\begi|n{quote}|
|00002e00| 0d 0a 24 5c 62 6c 61 63 | 6b 74 72 69 61 6e 67 6c |..$\blac|ktriangl|
|00002e10| 65 72 69 67 68 74 20 24 | 20 5c 74 65 78 74 73 66 |eright $| \textsf|
|00002e20| 7b 53 74 61 74 69 73 74 | 69 63 73 20 2b 20 43 6f |{Statist|ics + Co|
|00002e30| 72 72 65 6c 61 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 |rrelatio|n}..\end|
|00002e40| 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |{quote}.|...\begi|
|00002e50| 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c |n{quotat|ion}..$\|
|00002e60| 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left[ ..|\begin{a|
|00002e70| 72 72 61 79 7d 7b 72 72 | 7d 0d 0a 34 33 20 26 20 |rray}{rr|}..43 & |
|00002e80| 2d 36 32 20 5c 5c 20 0d | 0a 37 37 20 26 20 36 36 |-62 \\ .|.77 & 66|
|00002e90| 20 5c 5c 20 0d 0a 35 34 | 20 26 20 2d 35 20 5c 5c | \\ ..54| & -5 \\|
|00002ea0| 20 0d 0a 39 39 20 26 20 | 2d 36 31 0d 0a 5c 65 6e | ..99 & |-61..\en|
|00002eb0| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00002ec0| 5d 20 24 2c 20 43 6f 72 | 72 65 6c 61 74 69 6f 6e |] $, Cor|relation|
|00002ed0| 20 6d 61 74 72 69 78 3a | 20 24 5c 6c 65 66 74 5b | matrix:| $\left[|
|00002ee0| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|00002ef0| 7b 63 63 7d 0d 0a 31 2e | 30 20 26 20 37 2e 34 38 |{cc}..1.|0 & 7.48|
|00002f00| 33 31 5c 74 69 6d 65 73 | 20 31 30 5e 7b 2d 32 7d |31\times| 10^{-2}|
|00002f10| 20 5c 5c 20 0d 0a 37 2e | 34 38 33 31 5c 74 69 6d | \\ ..7.|4831\tim|
|00002f20| 65 73 20 31 30 5e 7b 2d | 32 7d 20 26 20 31 2e 30 |es 10^{-|2} & 1.0|
|00002f30| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|00002f40| 72 69 67 68 74 5d 20 5c | 6d 65 64 73 6b 69 70 20 |right] \|medskip |
|00002f50| 24 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c | 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c |$....$\l|eft[ ..\|
|00002f60| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 72 72 72 |begin{ar|ray}{rrr|
|00002f70| 7d 0d 0a 2d 35 30 20 26 | 20 2d 31 32 20 26 20 2d |}..-50 &| -12 & -|
|00002f80| 31 38 20 5c 5c 20 0d 0a | 33 31 20 26 20 2d 32 36 |18 \\ ..|31 & -26|
|00002f90| 20 26 20 2d 36 32 20 5c | 5c 20 0d 0a 31 20 26 20 | & -62 \|\ ..1 & |
|00002fa0| 2d 34 37 20 26 20 2d 39 | 31 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |-47 & -9|1..\end{|
|00002fb0| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 5d 20 |array}..|\right] |
|00002fc0| 24 2c 20 43 6f 72 72 65 | 6c 61 74 69 6f 6e 20 6d |$, Corre|lation m|
|00002fd0| 61 74 72 69 78 3a 20 24 | 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d |atrix: $|\left[ .|
|00002fe0| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|00002ff0| 63 63 7d 0d 0a 31 2e 30 | 20 26 20 2d 2e 35 32 38 |cc}..1.0| & -.528|
|00003000| 38 33 20 26 20 2d 2e 37 | 31 30 35 34 20 5c 5c 20 |83 & -.7|1054 \\ |
|00003010| 0d 0a 2d 2e 35 32 38 38 | 33 20 26 20 31 2e 30 20 |..-.5288|3 & 1.0 |
|00003020| 26 20 2e 39 37 32 39 37 | 20 5c 5c 20 0d 0a 2d 2e |& .97297| \\ ..-.|
|00003030| 37 31 30 35 34 20 26 20 | 2e 39 37 32 39 37 20 26 |71054 & |.97297 &|
|00003040| 20 31 2e 30 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 1.0..\e|nd{array|
|00003050| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 24 0d 0a 5c 65 |}..\righ|t] $..\e|
|00003060| 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d |nd{quota|tion}...|
|00003070| 0a 5c 73 74 72 75 74 0d | 0a 0d 0a 54 68 65 20 72 |.\strut.|...The r|
|00003080| 65 6c 61 74 69 6f 6e 73 | 68 69 70 20 24 25 0d 0a |elations|hip $%..|
|00003090| 5c 66 72 61 63 7b 5c 6c | 69 6d 66 75 6e 63 7b 43 |\frac{\l|imfunc{C|
|000030a0| 6f 76 7d 5c 6c 65 66 74 | 28 20 58 2c 59 5c 72 69 |ov}\left|( X,Y\ri|
|000030b0| 67 68 74 29 20 7d 7b 5c | 73 69 67 6d 61 20 5f 78 |ght) }{\|sigma _x|
|000030c0| 5c 73 69 67 6d 61 20 5f | 79 7d 3d 5c 72 68 6f 20 |\sigma _|y}=\rho |
|000030d0| 5c 6c 65 66 74 28 0d 0a | 58 2c 59 5c 72 69 67 68 |\left(..|X,Y\righ|
|000030e0| 74 29 20 24 20 61 6d 6f | 6e 67 20 63 6f 72 72 65 |t) $ amo|ng corre|
|000030f0| 6c 61 74 69 6f 6e 2c 20 | 63 6f 76 61 72 69 61 6e |lation, |covarian|
|00003100| 63 65 2c 20 61 6e 64 20 | 74 68 65 20 73 74 61 6e |ce, and |the stan|
|00003110| 64 61 72 64 20 64 65 76 | 69 61 74 69 6f 6e 73 20 |dard dev|iations |
|00003120| 69 73 0d 0a 69 6c 6c 75 | 73 74 72 61 74 65 64 20 |is..illu|strated |
|00003130| 69 6e 20 74 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |in the f|ollowing|
|00003140| 20 65 78 61 6d 70 6c 65 | 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | example|.....\be|
|00003150| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |gin{quot|ation}..|
|00003160| 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |$\left[ |..\begin|
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