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|00000ec0| 2c 20 24 79 5e 7b 5c 70 | 72 69 6d 65 20 7d 28 30 |, $y^{\p|rime }(0|
|00000ed0| 29 3d 31 24 2c 20 65 6e | 74 65 72 20 74 68 65 73 |)=1$, en|ter thes|
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|00001350| 79 5e 7b 5c 70 72 69 6d | 65 20 7d 5c 6c 65 66 74 |y^{\prim|e }\left|
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|00001370| 20 0d 0a 79 5e 7b 5c 70 | 72 69 6d 65 20 5c 70 72 | ..y^{\p|rime \pr|
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|00001560| 74 24 29 2c 20 45 78 61 | 63 74 20 73 6f 6c 75 74 |t$), Exa|ct solut|
|00001570| 69 6f 6e 20 69 73 3a 20 | 24 0d 0a 5c 62 65 67 69 |ion is: |$..\begi|
|00001580| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 7d 0d 0a 78 5c 6c |n{array}|{c}..x\l|
|00001590| 65 66 74 28 20 74 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 3d 43 |eft( t\r|ight) =C|
|000015a0| 5f 7b 31 7d 5c 73 69 6e | 20 74 2b 43 5f 7b 32 7d |_{1}\sin| t+C_{2}|
|000015b0| 5c 63 6f 73 20 74 20 5c | 5c 20 0d 0a 79 5c 6c 65 |\cos t \|\ ..y\le|
|000015c0| 66 74 28 20 74 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 3d 43 5f |ft( t\ri|ght) =C_|
|000015d0| 7b 32 7d 5c 73 69 6e 20 | 74 2d 43 5f 7b 31 7d 5c |{2}\sin |t-C_{1}\|
|000015e0| 63 6f 73 20 74 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |cos t..\|end{arra|
|000015f0| 79 7d 0d 0a 5c 6d 65 64 | 73 6b 69 70 20 24 0d 0a |y}..\med|skip $..|
|00001600| 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |\end{quo|tation}.|
|00001610| 0a 0d 0a 4e 6f 74 69 63 | 65 20 74 68 61 74 20 61 |...Notic|e that a|
|00001620| 6e 20 65 78 61 63 74 20 | 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e |n exact |solution|
|00001630| 20 74 6f 20 74 68 69 73 | 20 70 72 6f 62 6c 65 6d | to this| problem|
|00001640| 20 69 6e 76 6f 6c 76 65 | 73 20 61 20 74 77 6f 2d | involve|s a two-|
|00001650| 70 61 72 61 6d 65 74 65 | 72 0d 0a 66 61 6d 69 6c |paramete|r..famil|
|00001660| 79 20 6f 66 20 73 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 73 2e 2e |y of sol|utions..|
|00001670| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 |....\beg|in{quote|
|00001680| 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 | 63 6b 74 72 69 61 6e 67 |}..$\bla|cktriang|
|00001690| 6c 65 72 69 67 68 74 20 | 24 20 5c 74 65 78 74 73 |leright |$ \texts|
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|000016b0| 70 6c 61 63 65 7d 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |place}..|\end{quo|
|000016c0| 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 71 75 |te}....\|begin{qu|
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|000016f0| 5e 7b 5c 70 72 69 6d 65 | 20 7d 3d 78 20 5c 5c 20 |^{\prime| }=x \\ |
|00001700| 0d 0a 78 5e 7b 5c 70 72 | 69 6d 65 20 7d 3d 2d 79 |..x^{\pr|ime }=-y|
|00001710| 20 5c 5c 20 0d 0a 78 28 | 30 29 3d 30 20 5c 5c 20 | \\ ..x(|0)=0 \\ |
|00001720| 0d 0a 79 28 30 29 3d 31 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 |..y(0)=1|..\end{a|
|00001730| 72 72 61 79 7d 0d 0a 24 | 20 28 53 70 65 63 69 66 |rray}..$| (Specif|
|00001740| 79 20 24 74 24 29 2c 20 | 4c 61 70 6c 61 63 65 20 |y $t$), |Laplace |
|00001750| 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | 20 69 73 3a 20 24 0d 0a |solution| is: $..|
|00001760| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 7d |\begin{a|rray}{c}|
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|00001780| 74 29 20 3d 2d 5c 73 69 | 6e 20 74 20 5c 5c 20 0d |t) =-\si|n t \\ .|
|00001790| 0a 79 5c 6c 65 66 74 28 | 20 74 5c 72 69 67 68 74 |.y\left(| t\right|
|000017a0| 29 20 3d 5c 63 6f 73 20 | 74 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |) =\cos |t..\end{|
|000017b0| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 24 5c 20 5c 6d 65 64 73 |array}..|$\ \meds|
|000017c0| 6b 69 70 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 61 74 |kip..\en|d{quotat|
|000017d0| 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a | 53 75 62 73 63 72 69 70 |ion}....|Subscrip|
|000017e0| 74 65 64 20 64 65 70 65 | 6e 64 65 6e 74 20 76 61 |ted depe|ndent va|
|000017f0| 72 69 61 62 6c 65 73 20 | 61 72 65 20 61 6c 6c 6f |riables |are allo|
|00001800| 77 65 64 2e 5c 6d 65 64 | 73 6b 69 70 0d 0a 0d 0a |wed.\med|skip....|
|00001810| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 65 7d 0d 0a 24 |\begin{q|uote}..$|
|00001820| 5c 62 6c 61 63 6b 74 72 | 69 61 6e 67 6c 65 72 69 |\blacktr|iangleri|
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|00001840| 6c 76 65 20 4f 44 45 20 | 2b 20 4c 61 70 6c 61 63 |lve ODE |+ Laplac|
|00001850| 65 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d |e}..\end|{quote}.|
|00001860| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 |...\begi|n{quotat|
|00001870| 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |ion}..$.|.\begin{|
|00001880| 61 72 72 61 79 7d 7b 72 | 7d 0d 0a 44 5f 7b 78 7d |array}{r|}..D_{x}|
|00001890| 79 5f 7b 31 7d 2b 79 5f | 7b 31 7d 3d 65 5e 7b 32 |y_{1}+y_|{1}=e^{2|
|000018a0| 78 7d 20 5c 5c 20 0d 0a | 79 5f 7b 31 7d 5c 6c 65 |x} \\ ..|y_{1}\le|
|000018b0| 66 74 28 20 30 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 3d 31 0d |ft( 0\ri|ght) =1.|
|000018c0| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0d 0a 24 2c |.\end{ar|ray}..$,|
|000018d0| 20 4c 61 70 6c 61 63 65 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | Laplace| solutio|
|000018e0| 6e 20 69 73 3a 20 24 79 | 5f 7b 31 7d 5c 6c 65 66 |n is: $y|_{1}\lef|
|000018f0| 74 28 20 78 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 3d 5c 64 66 |t( x\rig|ht) =\df|
|00001900| 72 61 63 7b 32 7d 7b 33 | 7d 65 5e 7b 2d 78 7d 2b |rac{2}{3|}e^{-x}+|
|00001910| 5c 64 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 33 25 0d 0a 7d 65 |\dfrac{1|}{3%..}e|
|00001920| 5e 7b 32 78 7d 24 0d 0a | 0d 0a 24 5c 3b 24 0d 0a |^{2x}$..|..$\;$..|
|00001930| 0d 0a 24 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |..$..\be|gin{arra|
|00001940| 79 7d 7b 72 7d 0d 0a 44 | 5f 7b 78 78 7d 79 5f 7b |y}{r}..D|_{xx}y_{|
|00001950| 31 7d 2d 79 5f 7b 31 7d | 3d 30 20 5c 5c 20 0d 0a |1}-y_{1}|=0 \\ ..|
|00001960| 79 5f 7b 31 7d 28 30 29 | 3d 31 20 5c 5c 20 0d 0a |y_{1}(0)|=1 \\ ..|
|00001970| 79 5f 7b 31 7d 5e 7b 5c | 70 72 69 6d 65 20 7d 5c |y_{1}^{\|prime }\|
|00001980| 6c 65 66 74 28 20 30 5c | 72 69 67 68 74 29 20 3d |left( 0\|right) =|
|00001990| 30 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |0..\end{|array}..|
|000019a0| 24 2c 20 4c 61 70 6c 61 | 63 65 20 73 6f 6c 75 74 |$, Lapla|ce solut|
|000019b0| 69 6f 6e 20 69 73 3a 20 | 24 79 5f 7b 31 7d 5c 6c |ion is: |$y_{1}\l|
|000019c0| 65 66 74 28 20 78 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 3d 5c |eft( x\r|ight) =\|
|000019d0| 64 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 32 7d 65 5e 7b 78 7d |dfrac{1}|{2}e^{x}|
|000019e0| 2b 5c 64 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 32 7d 25 0d 0a |+\dfrac{|1}{2}%..|
|000019f0| 65 5e 7b 2d 78 7d 5c 6d | 65 64 73 6b 69 70 20 24 |e^{-x}\m|edskip $|
|00001a00| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |..\end{q|uotation|
|00001a10| 7d 0d 0a 0d 0a 54 68 65 | 20 6e 65 78 74 20 74 77 |}....The| next tw|
|00001a20| 6f 20 65 78 61 6d 70 6c | 65 73 20 73 68 6f 77 20 |o exampl|es show |
|00001a30| 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | 73 20 75 73 69 6e 67 20 |solution|s using |
|00001a40| 5c 74 65 78 74 73 66 7b | 45 78 61 63 74 7d 20 66 |\textsf{|Exact} f|
|00001a50| 6f 72 20 6e 6f 6e 6c 69 | 6e 65 61 72 0d 0a 65 71 |or nonli|near..eq|
|00001a60| 75 61 74 69 6f 6e 73 2e | 20 5c 74 65 78 74 73 66 |uations.| \textsf|
|00001a70| 7b 4c 61 70 6c 61 63 65 | 7d 20 70 72 6f 64 75 63 |{Laplace|} produc|
|00001a80| 65 73 20 6e 6f 20 72 65 | 73 75 6c 74 20 66 6f 72 |es no re|sult for|
|00001a90| 20 74 68 65 73 65 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 73 | these e|quations|
|00001aa0| 2c 20 61 73 0d 0a 4c 61 | 70 6c 61 63 65 20 74 72 |, as..La|place tr|
|00001ab0| 61 6e 73 66 6f 72 6d 73 | 20 61 72 65 20 61 70 70 |ansforms| are app|
|00001ac0| 72 6f 70 72 69 61 74 65 | 20 66 6f 72 20 6c 69 6e |ropriate| for lin|
|00001ad0| 65 61 72 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 73 20 6f 6e |ear equa|tions on|
|00001ae0| 6c 79 2e 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 53 65 72 69 |ly. \tex|tsf{Seri|
|00001af0| 65 73 7d 0d 0a 77 6f 75 | 6c 64 20 61 6c 73 6f 20 |es}..wou|ld also |
|00001b00| 66 61 69 6c 20 69 6e 20 | 74 68 65 20 73 65 63 6f |fail in |the seco|
|00001b10| 6e 64 20 65 78 61 6d 70 | 6c 65 2c 20 62 65 63 61 |nd examp|le, beca|
|00001b20| 75 73 65 20 24 5c 6c 6e | 20 78 24 20 64 6f 65 73 |use $\ln| x$ does|
|00001b30| 20 6e 6f 74 20 68 61 76 | 65 20 61 0d 0a 73 65 72 | not hav|e a..ser|
|00001b40| 69 65 73 20 65 78 70 61 | 6e 73 69 6f 6e 20 61 62 |ies expa|nsion ab|
|00001b50| 6f 75 74 20 24 78 3d 30 | 24 20 69 6e 20 70 6f 77 |out $x=0|$ in pow|
|00001b60| 65 72 73 20 6f 66 20 24 | 78 24 2e 5c 6d 65 64 73 |ers of $|x$.\meds|
|00001b70| 6b 69 70 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 71 75 |kip....\|begin{qu|
|00001b80| 6f 74 65 7d 0d 0a 24 5c | 62 6c 61 63 6b 74 72 69 |ote}..$\|blacktri|
|00001b90| 61 6e 67 6c 65 72 69 67 | 68 74 20 24 20 5c 74 65 |anglerig|ht $ \te|
|00001ba0| 78 74 73 66 7b 53 6f 6c | 76 65 20 4f 44 45 20 2b |xtsf{Sol|ve ODE +|
|00001bb0| 20 45 78 61 63 74 7d 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 | Exact}.|.\end{qu|
|00001bc0| 6f 74 65 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 |ote}....|\begin{q|
|00001bd0| 75 6f 74 61 74 69 6f 6e | 7d 0d 0a 24 0d 0a 5c 62 |uotation|}..$..\b|
|00001be0| 65 67 69 6e 7b 61 72 72 | 61 79 7d 7b 72 7d 0d 0a |egin{arr|ay}{r}..|
|00001bf0| 79 5e 7b 5c 70 72 69 6d | 65 20 7d 3d 79 5e 7b 32 |y^{\prim|e }=y^{2|
|00001c00| 7d 2b 34 20 5c 5c 20 0d | 0a 79 28 30 29 3d 2d 32 |}+4 \\ .|.y(0)=-2|
|00001c10| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 24 |..\end{a|rray}..$|
|00001c20| 20 28 53 70 65 63 69 66 | 79 20 24 74 24 29 2c 20 | (Specif|y $t$), |
|00001c30| 45 78 61 63 74 20 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 20 69 |Exact so|lution i|
|00001c40| 73 3a 20 24 79 5c 6c 65 | 66 74 28 20 74 5c 72 69 |s: $y\le|ft( t\ri|
|00001c50| 67 68 74 29 20 3d 32 5c | 74 61 6e 20 5c 6c 65 66 |ght) =2\|tan \lef|
|00001c60| 74 28 20 32 74 2d 25 0d | 0a 5c 64 66 72 61 63 7b |t( 2t-%.|.\dfrac{|
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|00001c80| 20 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 3b 24 0d 0a 0d 0a 24 0d | $....$\|;$....$.|
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