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|00000ac0| 0a 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 53 65 72 69 65 73 2e |.\textsf|{Series.|
|00000ad0| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 6e 75 6d 65 72 61 74 |}..\end{|enumerat|
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|00000b20| 45 78 61 63 74 7d 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |Exact}..|\end{quo|
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|00000ba0| 43 5f 7b 31 7d 24 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |C_{1}$..|\end{quo|
|00000bb0| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 0d 0a 54 6f 20 63 68 |tation}.|...To ch|
|00000bc0| 65 63 6b 20 74 68 69 73 | 20 72 65 73 75 6c 74 2c |eck this| result,|
|00000bd0| 20 64 65 66 69 6e 65 20 | 24 79 5c 6c 65 66 74 28 | define |$y\left(|
|00000be0| 20 78 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 3d 65 5e 7b 5c 66 | x\right|) =e^{\f|
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|00000c10| 24 79 24 20 62 79 20 24 | 79 28 78 29 24 20 69 6e |$y$ by $|y(x)$ in|
|00000c20| 20 74 68 65 20 64 69 66 | 66 65 72 65 6e 74 69 61 | the dif|ferentia|
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|00000c90| 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c |\end{quo|te}....\|
|00000ca0| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d |begin{qu|otation}|
|00000cb0| 0d 0a 24 5c 64 66 72 61 | 63 7b 64 79 5c 6c 65 66 |..$\dfra|c{dy\lef|
|00000cc0| 74 28 20 78 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 7d 7b 64 78 |t( x\rig|ht) }{dx|
|00000cd0| 7d 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 20 78 65 |}=\allow|break xe|
|00000ce0| 5e 7b 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 32 7d 78 5e 7b |^{\frac{|1}{2}x^{|
|00000cf0| 32 7d 7d 43 5f 7b 31 7d | 24 0d 0a 0d 0a 24 78 79 |2}}C_{1}|$....$xy|
|00000d00| 5c 6c 65 66 74 28 20 78 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |\left( x|\right) |
|00000d10| 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | 72 65 61 6b 20 78 65 5e |=\allowb|reak xe^|
|00000d20| 7b 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 7d 78 5e 7b 32 |{\frac{1|}{2}x^{2|
|00000d30| 7d 7d 43 5f 7b 31 7d 5c | 6d 65 64 73 6b 69 70 20 |}}C_{1}\|medskip |
|00000d40| 24 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 71 75 6f 74 61 74 69 6f |$..\end{|quotatio|
|00000d50| 6e 7d 0d 0a 0d 0a 46 6f | 72 20 61 6e 79 20 67 69 |n}....Fo|r any gi|
|00000d60| 76 65 6e 20 6e 75 6d 62 | 65 72 5c 20 24 43 5f 7b |ven numb|er\ $C_{|
|00000d70| 31 7d 24 2c 20 74 68 65 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f |1}$, the| solutio|
|00000d80| 6e 20 64 65 73 63 72 69 | 62 65 73 20 61 20 63 75 |n descri|bes a cu|
|00000d90| 72 76 65 2e 20 53 69 6e | 63 65 20 24 43 5f 7b 31 |rve. Sin|ce $C_{1|
|00000da0| 7d 24 0d 0a 6d 61 79 2c | 20 69 6e 20 67 65 6e 65 |}$..may,| in gene|
|00000db0| 72 61 6c 2c 20 74 61 6b | 65 20 6f 6e 20 69 6e 66 |ral, tak|e on inf|
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|00000eb0| 20 65 78 61 63 74 7d 7d | 0d 0a 0d 0a 54 77 6f 20 | exact}}|....Two |
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|00000fa0| 5c 69 6e 64 65 78 7b 44 | 69 66 66 65 72 65 6e 74 |\index{D|ifferent|
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|00000ff0| 6f 72 20 6e 6f 6e 68 6f | 6d 6f 67 65 6e 65 6f 75 |or nonho|mogeneou|
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|00001050| 64 69 66 66 65 72 65 6e | 74 69 61 6c 20 65 71 75 |differen|tial equ|
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|000011a0| 6f 66 20 74 68 65 73 65 | 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 |of these| options|
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|000011e0| 6f 74 2e 0d 0a 0d 0a 5c | 73 75 62 73 75 62 73 65 |ot.....\|subsubse|
|000011f0| 63 74 69 6f 6e 7b 45 78 | 61 63 74 20 4d 65 74 68 |ction{Ex|act Meth|
|00001200| 6f 64 7d 0d 0a 0d 0a 57 | 68 65 6e 20 61 20 70 72 |od}....W|hen a pr|
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|000012e0| 65 20 7d 3d 5c 73 69 6e | 0d 0a 78 2b 74 20 24 2c |e }=\sin|..x+t $,|
|000012f0| 20 74 68 65 20 69 6e 64 | 65 70 65 6e 64 65 6e 74 | the ind|ependent|
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|00001330| 61 73 6b 69 6e 67 0d 0a | 66 6f 72 20 74 68 65 20 |asking..|for the |
|00001340| 69 6e 64 65 70 65 6e 64 | 65 6e 74 20 76 61 72 69 |independ|ent vari|
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|000013d0| 62 6f 78 20 61 70 70 65 | 61 72 73 2e 20 0d 0a 5c |box appe|ars. ..\|
|000013e0| 69 6e 64 65 78 7b 53 6f | 6c 76 65 20 4f 44 45 40 |index{So|lve ODE@|
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|00001440| 53 6f 6c 76 65 20 4f 44 | 45 20 2b 20 45 78 61 63 |Solve OD|E + Exac|
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|00001460| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 |...\begi|n{quotat|
|00001470| 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 79 | 5e 7b 5c 70 72 69 6d 65 |ion}..$y|^{\prime|
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|000014a0| 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | 20 69 73 3a 20 24 79 5c |solution| is: $y\|
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|000014c0| 3d 2d 5c 63 6f 73 20 78 | 2b 43 5f 7b 31 7d 24 0d |=-\cos x|+C_{1}$.|
|000014d0| 0a 0d 0a 24 79 5e 7b 5c | 70 72 69 6d 65 20 7d 3d |...$y^{\|prime }=|
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|000014f0| 20 24 74 24 29 2c 20 45 | 78 61 63 74 20 73 6f 6c | $t$), E|xact sol|
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|00002a60| 65 78 74 73 66 7b 53 6f | 6c 76 65 20 4f 44 45 20 |extsf{So|lve ODE |
|00002a70| 2b 20 45 78 61 63 74 7d | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 |+ Exact}|..\end{q|
|00002a80| 75 6f 74 65 7d 0d 0a 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |uote}...|.\begin{|
|00002a90| 71 75 6f 74 61 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 24 5c 64 66 |quotatio|n}..$\df|
|00002aa0| 72 61 63 7b 64 5e 7b 32 | 7d 79 7d 7b 64 78 5e 7b |rac{d^{2|}y}{dx^{|
|00002ab0| 32 7d 7d 2b 5c 64 66 72 | 61 63 7b 64 79 7d 7b 64 |2}}+\dfr|ac{dy}{d|
|00002ac0| 78 7d 3d 78 2b 79 24 2c | 20 45 78 61 63 74 20 73 |x}=x+y$,| Exact s|
|00002ad0| 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 | 69 73 3a 20 24 79 5c 6c |olution |is: $y\l|
|00002ae0| 65 66 74 28 0d 0a 78 5c | 72 69 67 68 74 29 20 3d |eft(..x\|right) =|
|00002af0| 2d 31 2d 78 2b 43 5f 7b | 31 7d 65 5e 7b 5c 66 72 |-1-x+C_{|1}e^{\fr|
|00002b00| 61 63 7b 31 7d 7b 32 7d | 5c 6c 65 66 74 28 20 2d |ac{1}{2}|\left( -|
|00002b10| 31 2b 5c 73 71 72 74 7b | 35 7d 5c 72 69 67 68 74 |1+\sqrt{|5}\right|
|00002b20| 29 20 78 7d 2b 43 5f 7b | 32 7d 65 5e 7b 2d 25 0d |) x}+C_{|2}e^{-%.|
|00002b30| 0a 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 7d 5c 6c 65 66 |.\frac{1|}{2}\lef|
|00002b40| 74 28 20 31 2b 5c 73 71 | 72 74 7b 35 7d 5c 72 69 |t( 1+\sq|rt{5}\ri|
|00002b50| 67 68 74 29 20 78 7d 5c | 6d 65 64 73 6b 69 70 20 |ght) x}\|medskip |
|00002b60| 24 0d 0a 0d 0a 24 78 79 | 5e 7b 5c 70 72 69 6d 65 |$....$xy|^{\prime|
|00002b70| 20 7d 2d 79 3d 78 5e 7b | 32 7d 24 2c 20 45 78 61 | }-y=x^{|2}$, Exa|
|00002b80| 63 74 20 73 6f 6c 75 74 | 69 6f 6e 20 69 73 20 3a |ct solut|ion is :|
|00002b90| 20 24 79 5c 6c 65 66 74 | 28 20 78 5c 72 69 67 68 | $y\left|( x\righ|
|00002ba0| 74 29 0d 0a 3d 78 5e 7b | 32 7d 2b 78 43 5f 7b 31 |t)..=x^{|2}+xC_{1|
|00002bb0| 7d 5c 62 69 67 73 6b 69 | 70 20 24 0d 0a 5c 65 6e |}\bigski|p $..\en|
|00002bc0| 64 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a |d{quotat|ion}....|
|00002bd0| 53 6f 6d 65 20 64 69 66 | 66 65 72 65 6e 74 69 61 |Some dif|ferentia|
|00002be0| 6c 20 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 73 20 74 68 61 74 |l equati|ons that|
|00002bf0| 20 61 72 65 20 6e 6f 74 | 20 72 65 61 64 69 6c 79 | are not| readily|
|00002c00| 20 73 6f 6c 76 61 62 6c | 65 20 62 79 20 74 68 69 | solvabl|e by thi|
|00002c10| 73 20 6d 65 74 68 6f 64 | 20 63 61 6e 0d 0a 62 65 |s method| can..be|
|00002c20| 20 73 6f 6c 76 65 64 20 | 61 66 74 65 72 20 72 65 | solved |after re|
|00002c30| 77 72 69 74 69 6e 67 20 | 74 68 65 20 65 71 75 61 |writing |the equa|
|00002c40| 74 69 6f 6e 2c 20 61 73 | 20 73 68 6f 77 6e 20 69 |tion, as| shown i|
|00002c50| 6e 20 74 68 65 20 66 6f | 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 |n the fo|llowing |
|00002c60| 74 77 6f 0d 0a 65 78 61 | 6d 70 6c 65 73 2e 5c 6d |two..exa|mples.\m|
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|00002c90| 69 66 66 65 72 65 6e 74 | 69 61 6c 20 65 71 75 61 |ifferent|ial equa|
|00002ca0| 74 69 6f 6e 20 24 5c 66 | 72 61 63 7b 64 79 7d 7b |tion $\f|rac{dy}{|
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|00002cc0| 32 7d 5c 73 69 6e 20 79 | 2d 78 79 7d 24 20 63 61 |2}\sin y|-xy}$ ca|
|00002cd0| 6e 20 62 65 0d 0a 73 6f | 6c 76 65 64 20 62 79 20 |n be..so|lved by |
|00002ce0| 72 65 76 65 72 73 69 6e | 67 20 74 68 65 20 72 6f |reversin|g the ro|
|00002cf0| 6c 65 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 74 77 6f 20 76 61 |le of th|e two va|
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|00002d10| 69 6e 7b 69 74 65 6d 69 | 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 74 |in{itemi|ze}..\it|
|00002d20| 65 6d 20 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 53 6f 6c 76 |em \tex|tsf{Solv|
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|00002d50| 7b 32 7d 5c 73 69 6e 20 | 79 2d 78 79 24 2c 20 45 |{2}\sin |y-xy$, E|
|00002d60| 78 61 63 74 0d 0a 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 20 69 |xact..so|lution i|
|00002d70| 73 20 3a 20 24 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 78 5c |s : $\fr|ac{1}{x\|
|00002d80| 6c 65 66 74 28 20 79 5c | 72 69 67 68 74 29 20 7d |left( y\|right) }|
|00002d90| 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 2d 5c 69 6e 74 20 65 5e |=\left( |-\int e^|
|00002da0| 7b 2d 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 32 7d 25 0d 0a |{-\frac{|1}{2}%..|
|00002db0| 79 5e 7b 32 7d 7d 5c 73 | 69 6e 20 79 5c 2c 64 79 |y^{2}}\s|in y\,dy|
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|00002dd0| 7b 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 7d 79 5e 7b 32 |{\frac{1|}{2}y^{2|
|00002de0| 7d 7d 24 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 69 74 65 6d 69 7a |}}$..\en|d{itemiz|
|00002df0| 65 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 |e}..\end|{example|
|00002e00| 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 78 61 6d |}....\be|gin{exam|
|00002e10| 70 6c 65 7d 0d 0a 54 68 | 65 20 64 69 66 66 65 72 |ple}..Th|e differ|
|00002e20| 65 6e 74 69 61 6c 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 20 |ential e|quation |
|00002e30| 24 5c 66 72 61 63 7b 64 | 79 7d 7b 64 78 7d 2b 5c |$\frac{d|y}{dx}+\|
|00002e40| 66 72 61 63 7b 78 79 7d | 7b 31 2d 78 5e 7b 32 7d |frac{xy}|{1-x^{2}|
|00002e50| 7d 3d 78 5c 73 71 72 74 | 7b 79 7d 5c 20 24 63 61 |}=x\sqrt|{y}\ $ca|
|00002e60| 6e 0d 0a 62 65 20 73 6f | 6c 76 65 64 20 61 66 74 |n..be so|lved aft|
|00002e70| 65 72 20 61 20 63 68 61 | 6e 67 65 20 6f 66 20 76 |er a cha|nge of v|
|00002e80| 61 72 69 61 62 6c 65 2e | 20 54 61 6b 65 20 24 5c |ariable.| Take $\|
|00002e90| 73 71 72 74 7b 79 7d 3d | 7a 24 20 74 6f 20 67 65 |sqrt{y}=|z$ to ge|
|00002ea0| 74 20 24 32 7a 5c 66 72 | 61 63 7b 64 7a 7d 7b 25 |t $2z\fr|ac{dz}{%|
|00002eb0| 0d 0a 64 78 7d 2b 5c 66 | 72 61 63 7b 78 7a 5e 7b |..dx}+\f|rac{xz^{|
|00002ec0| 32 7d 7d 7b 31 2d 78 5e | 7b 32 7d 7d 3d 78 7a 24 |2}}{1-x^|{2}}=xz$|
|00002ed0| 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 69 74 65 6d |.....\be|gin{item|
|00002ee0| 69 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 20 5c 74 65 |ize}..\i|tem \te|
|00002ef0| 78 74 73 66 7b 53 6f 6c | 76 65 20 4f 44 45 20 2b |xtsf{Sol|ve ODE +|
|00002f00| 20 45 78 61 63 74 7d 2c | 20 5c 74 65 78 74 73 66 | Exact},| \textsf|
|00002f10| 7b 53 69 6d 70 6c 69 66 | 79 20 7d 24 5c 66 72 61 |{Simplif|y }$\fra|
|00002f20| 63 7b 64 7a 7d 7b 64 78 | 7d 2b 5c 66 72 61 63 7b |c{dz}{dx|}+\frac{|
|00002f30| 78 7a 25 0d 0a 7d 7b 32 | 5c 6c 65 66 74 28 20 31 |xz%..}{2|\left( 1|
|00002f40| 2d 78 5e 7b 32 7d 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 7d 3d |-x^{2}\r|ight) }=|
|00002f50| 5c 66 72 61 63 7b 78 7d | 7b 32 7d 24 2c 20 45 78 |\frac{x}|{2}$, Ex|
|00002f60| 61 63 74 20 73 6f 6c 75 | 74 69 6f 6e 20 69 73 20 |act solu|tion is |
|00002f70| 3a 20 24 7a 5c 6c 65 66 | 74 28 0d 0a 78 5c 72 69 |: $z\lef|t(..x\ri|
|00002f80| 67 68 74 29 20 3d 5c 66 | 72 61 63 7b 31 7d 7b 33 |ght) =\f|rac{1}{3|
|00002f90| 7d 78 5e 7b 32 7d 2d 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |}x^{2}-\|frac{1}{|
|00002fa0| 33 7d 2b 5c 73 71 72 74 | 5b 34 5d 7b 5c 6c 65 66 |3}+\sqrt|[4]{\lef|
|00002fb0| 74 28 20 32 78 5e 7b 32 | 7d 2d 32 5c 72 69 67 68 |t( 2x^{2|}-2\righ|
|00002fc0| 74 29 20 7d 25 0d 0a 43 | 5f 7b 31 7d 20 24 0d 0a |t) }%..C|_{1} $..|
|00002fd0| 5c 65 6e 64 7b 69 74 65 | 6d 69 7a 65 7d 0d 0a 0d |\end{ite|mize}...|
|00002fe0| 0a 54 68 75 73 20 24 79 | 28 78 29 3d 5c 6c 65 66 |.Thus $y|(x)=\lef|
|00002ff0| 74 28 20 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 33 7d 78 5e |t( \frac|{1}{3}x^|
|00003000| 7b 32 7d 2d 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 33 7d 2b |{2}-\fra|c{1}{3}+|
|00003010| 5c 73 71 72 74 5b 34 5d | 7b 5c 6c 65 66 74 28 0d |\sqrt[4]|{\left(.|
|00003020| 0a 32 78 5e 7b 32 7d 2d | 32 5c 72 69 67 68 74 29 |.2x^{2}-|2\right)|
|00003030| 20 7d 43 5f 7b 31 7d 5c | 72 69 67 68 74 29 20 5e | }C_{1}\|right) ^|
|00003040| 7b 32 7d 24 2e 20 54 6f | 20 63 68 65 63 6b 20 74 |{2}$. To| check t|
|00003050| 68 69 73 20 72 65 73 75 | 6c 74 2c 20 64 65 66 69 |his resu|lt, defi|
|00003060| 6e 65 20 24 79 28 78 29 | 24 20 61 6e 64 0d 0a 65 |ne $y(x)|$ and..e|
|00003070| 76 61 6c 75 61 74 65 20 | 74 68 65 20 74 77 6f 20 |valuate |the two |
|00003080| 73 69 64 65 73 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 64 69 66 |sides of| the dif|
|00003090| 66 65 72 65 6e 74 69 61 | 6c 20 65 71 75 61 74 69 |ferentia|l equati|
|000030a0| 6f 6e 20 74 6f 20 67 65 | 74 20 24 5c 66 72 61 63 |on to ge|t $\frac|
|000030b0| 7b 64 7d 7b 64 78 7d 25 | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 28 |{d}{dx}%|..\left(|
|000030c0| 20 79 5c 6c 65 66 74 28 | 20 78 5c 72 69 67 68 74 | y\left(| x\right|
|000030d0| 29 20 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 2b 5c 66 72 61 63 |) \right|) +\frac|
|000030e0| 7b 78 79 5c 6c 65 66 74 | 28 20 78 5c 72 69 67 68 |{xy\left|( x\righ|
|000030f0| 74 29 20 7d 7b 31 2d 78 | 5e 7b 32 7d 7d 25 0d 0a |t) }{1-x|^{2}}%..|
|00003100| 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | 72 65 61 6b 20 5c 66 72 |=\allowb|reak \fr|
|00003110| 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d | 5c 6c 65 66 74 28 20 2d |ac{1}{3}|\left( -|
|00003120| 31 2b 78 5e 7b 32 7d 5c | 72 69 67 68 74 29 20 78 |1+x^{2}\|right) x|
|00003130| 24 20 61 6e 64 20 24 78 | 5c 73 71 72 74 7b 79 5c |$ and $x|\sqrt{y\|
|00003140| 6c 65 66 74 28 0d 0a 78 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |left(..x|\right) |
|00003150| 7d 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 20 5c 66 |}=\allow|break \f|
|00003160| 72 61 63 7b 31 7d 7b 33 | 7d 5c 6c 65 66 74 28 20 |rac{1}{3|}\left( |
|00003170| 2d 31 2b 78 5e 7b 32 7d | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |-1+x^{2}|\right) |
|00003180| 78 24 2e 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 78 61 6d 70 6c |x$...\en|d{exampl|
|00003190| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 73 | 75 62 73 75 62 73 65 63 |e}....\s|ubsubsec|
|000031a0| 74 69 6f 6e 7b 4c 61 70 | 6c 61 63 65 20 4d 65 74 |tion{Lap|lace Met|
|000031b0| 68 6f 64 20 0d 0a 5c 69 | 6e 64 65 78 7b 53 6f 6c |hod ..\i|ndex{Sol|
|000031c0| 76 65 20 4f 44 45 40 53 | 6f 6c 76 65 20 4f 44 45 |ve ODE@S|olve ODE|
|000031d0| 21 4c 61 70 6c 61 63 65 | 40 4c 61 70 6c 61 63 65 |!Laplace|@Laplace|
|000031e0| 7d 5c 6c 61 62 65 6c 7b | 53 6f 6c 76 65 20 4f 44 |}\label{|Solve OD|
|000031f0| 45 2c 20 4c 61 70 6c 61 | 63 65 7d 5c 6c 61 62 65 |E, Lapla|ce}\labe|
|00003200| 6c 25 0d 0a 7b 4c 61 70 | 6c 61 63 65 7d 7d 0d 0a |l%..{Lap|lace}}..|
|00003210| 0d 0a 4c 61 70 6c 61 63 | 65 20 74 72 61 6e 73 66 |..Laplac|e transf|
|00003220| 6f 72 6d 73 20 73 6f 6c | 76 65 20 65 69 74 68 65 |orms sol|ve eithe|
|00003230| 72 20 68 6f 6d 6f 67 65 | 6e 65 6f 75 73 20 0d 0a |r homoge|neous ..|
|00003240| 5c 69 6e 64 65 78 7b 44 | 69 66 66 65 72 65 6e 74 |\index{D|ifferent|
|00003250| 69 61 6c 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 73 40 44 69 |ial equa|tions@Di|
|00003260| 66 66 65 72 65 6e 74 69 | 61 6c 20 65 71 75 61 74 |fferenti|al equat|
|00003270| 69 6f 6e 73 21 68 6f 6d | 6f 67 65 6e 65 6f 75 73 |ions!hom|ogeneous|
|00003280| 40 68 6f 6d 6f 67 65 6e | 65 6f 75 73 7d 25 0d 0a |@homogen|eous}%..|
|00003290| 6f 72 20 6e 6f 6e 68 6f | 6d 6f 67 65 6e 65 6f 75 |or nonho|mogeneou|
|000032a0| 73 20 5c 6c 61 62 65 6c | 7b 4e 6f 6e 68 6f 6d 6f |s \label|{Nonhomo|
|000032b0| 67 65 6e 65 6f 75 73 20 | 6c 69 6e 65 61 72 20 4f |geneous |linear O|
|000032c0| 44 45 7d 6c 69 6e 65 61 | 72 5c 6c 61 62 65 6c 25 |DE}linea|r\label%|
|000032d0| 0d 0a 7b 48 6f 6d 6f 67 | 65 6e 65 6f 75 73 20 4f |..{Homog|eneous O|
|000032e0| 44 45 7d 20 73 79 73 74 | 65 6d 73 20 69 6e 20 77 |DE} syst|ems in w|
|000032f0| 68 69 63 68 20 74 68 65 | 20 63 6f 65 66 66 69 63 |hich the| coeffic|
|00003300| 69 65 6e 74 73 20 61 72 | 65 20 61 6c 6c 20 63 6f |ients ar|e all co|
|00003310| 6e 73 74 61 6e 74 73 2e | 0d 0a 49 6e 69 74 69 61 |nstants.|..Initia|
|00003320| 6c 20 63 6f 6e 64 69 74 | 69 6f 6e 73 20 61 70 70 |l condit|ions app|
|00003330| 65 61 72 20 65 78 70 6c | 69 63 69 74 6c 79 20 69 |ear expl|icitly i|
|00003340| 6e 20 74 68 65 20 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 2e 5c |n the so|lution.\|
|00003350| 6d 65 64 73 6b 69 70 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |medskip.|...\begi|
|00003360| 6e 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 24 5c 62 6c 61 63 |n{quote}|..$\blac|
|00003370| 6b 74 72 69 61 6e 67 6c | 65 72 69 67 68 74 20 24 |ktriangl|eright $|
|00003380| 20 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 53 6f 6c 76 65 20 4f | \textsf|{Solve O|
|00003390| 44 45 20 2b 20 4c 61 70 | 6c 61 63 65 7d 0d 0a 5c |DE + Lap|lace}..\|
|000033a0| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |end{quot|e}....\b|
|000033b0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |egin{quo|tation}.|
|000033c0| 0a 24 25 0d 0a 5c 64 66 | 72 61 63 7b 64 79 7d 7b |.$%..\df|rac{dy}{|
|000033d0| 64 78 7d 3d 79 24 2c 20 | 4c 61 70 6c 61 63 65 20 |dx}=y$, |Laplace |
|000033e0| 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | 20 69 73 3a 20 24 79 5c |solution| is: $y\|
|000033f0| 6c 65 66 74 28 20 78 5c | 72 69 67 68 74 29 20 3d |left( x\|right) =|
|00003400| 79 5c 6c 65 66 74 28 20 | 30 5c 72 69 67 68 74 29 |y\left( |0\right)|
|00003410| 0d 0a 65 5e 7b 78 7d 24 | 0d 0a 0d 0a 24 5c 6d 61 |..e^{x}$|....$\ma|
|00003420| 74 68 73 66 7b 5c 2c 5c | 2c 7d 79 5e 7b 5c 70 72 |thsf{\,\|,}y^{\pr|
|00003430| 69 6d 65 20 7d 2b 79 3d | 78 2b 5c 73 69 6e 20 78 |ime }+y=|x+\sin x|
|00003440| 24 20 28 53 70 65 63 69 | 66 79 20 24 78 24 29 2c |$ (Speci|fy $x$),|
|00003450| 20 4c 61 70 6c 61 63 65 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | Laplace| solutio|
|00003460| 6e 20 69 73 3a 0d 0a 0d | 0a 5c 71 71 75 61 64 20 |n is:...|.\qquad |
|00003470| 5c 71 71 75 61 64 20 5c | 71 71 75 61 64 20 24 79 |\qquad \|qquad $y|
|00003480| 5c 6c 65 66 74 28 20 78 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |\left( x|\right) |
|00003490| 3d 2d 31 2b 78 2b 5c 66 | 72 61 63 7b 33 7d 7b 32 |=-1+x+\f|rac{3}{2|
|000034a0| 7d 65 5e 7b 2d 78 7d 2b | 79 5c 6c 65 66 74 28 0d |}e^{-x}+|y\left(.|
|000034b0| 0a 30 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 65 5e 7b 2d 78 7d |.0\right|) e^{-x}|
|000034c0| 2b 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 7d 5c 73 69 6e |+\frac{1|}{2}\sin|
|000034d0| 20 78 2d 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 32 7d 5c 63 | x-\frac|{1}{2}\c|
|000034e0| 6f 73 20 78 5c 6d 65 64 | 73 6b 69 70 20 24 0d 0a |os x\med|skip $..|
|000034f0| 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |\end{quo|tation}.|
|00003500| 0a 0d 0a 54 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |...The f|ollowing|
|00003510| 20 65 78 61 6d 70 6c 65 | 73 20 63 6f 6d 70 61 72 | example|s compar|
|00003520| 65 20 65 78 61 63 74 20 | 61 6e 64 20 4c 61 70 6c |e exact |and Lapl|
|00003530| 61 63 65 20 73 6f 6c 75 | 74 69 6f 6e 73 2e 0d 0a |ace solu|tions...|
|00003540| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 63 65 6e 74 65 72 7d |..\begin|{center}|
|00003550| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 74 61 62 75 6c 61 72 |..\begin|{tabular|
|00003560| 7d 7b 6c 6c 6c 7d 0d 0a | 5c 74 65 78 74 62 66 7b |}{lll}..|\textbf{|
|00003570| 45 71 75 61 74 69 6f 6e | 7d 20 26 20 5c 74 65 78 |Equation|} & \tex|
|00003580| 74 62 66 7b 45 78 61 63 | 74 7d 20 26 20 5c 74 65 |tbf{Exac|t} & \te|
|00003590| 78 74 62 66 7b 4c 61 70 | 6c 61 63 65 7d 20 5c 5c |xtbf{Lap|lace} \\|
|000035a0| 20 5c 68 6c 69 6e 65 0d | 0a 24 79 5e 7b 5c 70 72 | \hline.|.$y^{\pr|
|000035b0| 69 6d 65 20 7d 3d 5c 73 | 69 6e 20 78 24 20 26 20 |ime }=\s|in x$ & |
|000035c0| 24 79 5c 6c 65 66 74 28 | 20 78 5c 72 69 67 68 74 |$y\left(| x\right|
|000035d0| 29 20 3d 2d 5c 63 6f 73 | 20 78 2b 43 5f 7b 31 7d |) =-\cos| x+C_{1}|
|000035e0| 24 20 26 20 24 79 5c 6c | 65 66 74 28 20 78 5c 72 |$ & $y\l|eft( x\r|
|000035f0| 69 67 68 74 29 0d 0a 3d | 31 2b 79 5c 6c 65 66 74 |ight)..=|1+y\left|
|00003600| 28 20 30 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 2d 5c 63 6f 73 |( 0\righ|t) -\cos|
|00003610| 20 78 24 20 5c 5c 20 0d | 0a 24 79 5e 7b 5c 70 72 | x$ \\ .|.$y^{\pr|
|00003620| 69 6d 65 20 7d 3d 79 2b | 78 24 20 26 20 24 79 5c |ime }=y+|x$ & $y\|
|00003630| 6c 65 66 74 28 20 78 5c | 72 69 67 68 74 29 20 3d |left( x\|right) =|
|00003640| 2d 78 2d 31 2b 65 5e 7b | 78 7d 43 5f 7b 31 7d 24 |-x-1+e^{|x}C_{1}$|
|00003650| 20 26 20 24 79 5c 6c 65 | 66 74 28 20 78 5c 72 69 | & $y\le|ft( x\ri|
|00003660| 67 68 74 29 0d 0a 3d 2d | 31 2d 78 2b 65 5e 7b 78 |ght)..=-|1-x+e^{x|
|00003670| 7d 2b 79 5c 6c 65 66 74 | 28 20 30 5c 72 69 67 68 |}+y\left|( 0\righ|
|00003680| 74 29 20 65 5e 7b 78 7d | 24 20 5c 5c 20 0d 0a 24 |t) e^{x}|$ \\ ..$|
|00003690| 44 5f 7b 78 7d 79 3d 5c | 63 6f 73 20 78 24 20 26 |D_{x}y=\|cos x$ &|
|000036a0| 20 24 79 5c 6c 65 66 74 | 28 20 78 5c 72 69 67 68 | $y\left|( x\righ|
|000036b0| 74 29 20 3d 5c 73 69 6e | 20 78 2b 43 5f 7b 31 7d |t) =\sin| x+C_{1}|
|000036c0| 24 20 26 20 24 79 5c 6c | 65 66 74 28 20 78 5c 72 |$ & $y\l|eft( x\r|
|000036d0| 69 67 68 74 29 0d 0a 3d | 79 5c 6c 65 66 74 28 20 |ight)..=|y\left( |
|000036e0| 30 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 2b 5c 73 69 6e 20 78 |0\right)| +\sin x|
|000036f0| 24 20 5c 5c 20 0d 0a 24 | 44 5f 7b 78 7d 79 3d 78 |$ \\ ..$|D_{x}y=x|
|00003700| 2b 74 24 20 26 20 24 79 | 5c 6c 65 66 74 28 20 78 |+t$ & $y|\left( x|
|00003710| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 3d 5c 66 72 61 63 7b 31 |\right) |=\frac{1|
|00003720| 7d 7b 32 7d 78 5e 7b 32 | 7d 2b 74 78 2b 43 5f 7b |}{2}x^{2|}+tx+C_{|
|00003730| 31 7d 24 20 26 20 24 79 | 5c 6c 65 66 74 28 0d 0a |1}$ & $y|\left(..|
|00003740| 78 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 3d 7b 5c 66 72 61 63 |x\right)| ={\frac|
|00003750| 7b 31 7d 7b 32 7d 7d 78 | 5e 7b 32 7d 2b 79 5c 6c |{1}{2}}x|^{2}+y\l|
|00003760| 65 66 74 28 20 30 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 2b 74 |eft( 0\r|ight) +t|
|00003770| 78 24 20 5c 5c 20 0d 0a | 24 5c 66 72 61 63 7b 64 |x$ \\ ..|$\frac{d|
|00003780| 79 7d 7b 64 78 7d 3d 79 | 24 20 26 20 24 79 5c 6c |y}{dx}=y|$ & $y\l|
|00003790| 65 66 74 28 20 78 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 3d 65 |eft( x\r|ight) =e|
|000037a0| 5e 7b 78 7d 43 5f 7b 31 | 7d 24 20 26 20 24 79 5c |^{x}C_{1|}$ & $y\|
|000037b0| 6c 65 66 74 28 20 78 5c | 72 69 67 68 74 29 0d 0a |left( x\|right)..|
|000037c0| 3d 79 5c 6c 65 66 74 28 | 20 30 5c 72 69 67 68 74 |=y\left(| 0\right|
|000037d0| 29 20 65 5e 7b 78 7d 24 | 20 5c 5c 20 0d 0a 24 79 |) e^{x}$| \\ ..$y|
|000037e0| 5e 7b 5c 70 72 69 6d 65 | 20 7d 3d 79 5e 7b 32 7d |^{\prime| }=y^{2}|
|000037f0| 2b 31 24 20 26 20 24 2d | 5c 61 72 63 74 61 6e 20 |+1$ & $-|\arctan |
|00003800| 5c 6c 65 66 74 28 20 79 | 5c 6c 65 66 74 28 20 74 |\left( y|\left( t|
|00003810| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |\right) |\right) |
|00003820| 2b 74 3d 43 5f 7b 31 7d | 24 0d 0a 26 20 24 5c 74 |+t=C_{1}|$..& $\t|
|00003830| 65 78 74 7b 46 61 69 6c | 73 7d 24 20 5c 5c 20 0d |ext{Fail|s}$ \\ .|
|00003840| 0a 24 5c 6c 65 66 74 28 | 20 79 5e 7b 5c 70 72 69 |.$\left(| y^{\pri|
|00003850| 6d 65 20 7d 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5e 7b 33 7d |me }\rig|ht) ^{3}|
|00003860| 2d 33 5c 6c 65 66 74 28 | 20 79 5e 7b 5c 70 72 69 |-3\left(| y^{\pri|
|00003870| 6d 65 20 7d 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5e 7b 32 7d |me }\rig|ht) ^{2}|
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|000038f0| 29 20 3d 74 2b 43 5f 7b | 31 7d 24 20 26 20 24 5c |) =t+C_{|1}$ & $\|
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|00003cf0| 64 65 72 2e 0d 0a 0d 0a | 5c 69 74 65 6d 20 20 43 |der.....|\item C|
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|00003d30| 49 6e 20 74 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |In the f|ollowing|
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|00003d70| 30 29 24 20 61 70 70 65 | 61 72 73 0d 0a 65 78 70 |0)$ appe|ars..exp|
|00003d80| 6c 69 63 69 74 6c 79 20 | 69 6e 20 65 61 63 68 20 |licitly |in each |
|00003d90| 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e | 2e 20 43 68 6f 6f 73 65 |solution|. Choose|
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|00003e10| 65 7d 0d 0a 24 5c 62 6c | 61 63 6b 74 72 69 61 6e |e}..$\bl|acktrian|
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|00003e30| 73 66 7b 53 6f 6c 76 65 | 20 4f 44 45 20 2b 20 53 |sf{Solve| ODE + S|
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|00003ec0| 29 20 78 2b 5c 6c 65 66 | 74 28 20 0d 0a 5c 66 72 |) x+\lef|t( ..\fr|
|00003ed0| 61 63 7b 31 7d 7b 32 7d | 79 5c 6c 65 66 74 28 20 |ac{1}{2}|y\left( |
|00003ee0| 30 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 72 69 67 68 74 29 |0\right)| \right)|
|00003ef0| 20 78 5e 7b 32 7d 2b 5c | 6c 65 66 74 28 20 5c 66 | x^{2}+\|left( \f|
|00003f00| 72 61 63 7b 31 7d 7b 36 | 7d 79 5c 6c 65 66 74 28 |rac{1}{6|}y\left(|
|00003f10| 20 30 5c 72 69 67 68 74 | 29 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 0\right|)..\righ|
|00003f20| 74 29 20 78 5e 7b 33 7d | 2b 5c 6c 65 66 74 28 20 |t) x^{3}|+\left( |
|00003f30| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 32 34 7d 79 5c 6c 65 |\frac{1}|{24}y\le|
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|00003f50| 67 68 74 29 20 78 5e 7b | 34 7d 2b 5c 6c 65 66 74 |ght) x^{|4}+\left|
|00003f60| 28 20 5c 66 72 61 63 7b | 25 0d 0a 31 7d 7b 31 32 |( \frac{|%..1}{12|
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|00003f80| 74 29 20 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 78 5e 7b 35 7d |t) \righ|t) x^{5}|
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