****************************************************************** D O K U M E N T A T I O N ****************************************************************** ͻ ͻ ͻ ͻ ͻ ͻ ͻ ͻ ɼ ͻ ͻ ͻ ͻ ͼ ͼ ͻ ͼ ͼ ͻ ͼ ͻ ͼ ͼ ͻ ͻ ͼ ͻ ͼ ͼ ͼ ͼ ͼ ͼ ͼ ͼ ͼ DER IDEALE TRAININGS - PARTNER ZUR UNTERSTUFEN - MATHEMATIK ****************************************************************** S H A R E W A R E ****************************************************************** Version 2.6 (C) 1989/93 Dipl.Math. OStR Theo Lambert Auf dem Backenberg 13 W-4630 B o c h u m 1 G e r m a n y ( 1 ) ------------------------------------------------------------------ I N H A L T S V E R Z E I C H N I S ------------------------------------------------------------------ Kurzinfo . . . . . . . . . . . . . 2 Shareware-Hinweis . . . . . . . . . . . 2 Vollversion . . . . . . . . . . . . . 3 Installation . . . . . . . . . . . . 4 Programm-Philosophie . . . . . . . . . . 5 Programm-Bedienung . . . . . . . . . . 6 Einstieg . . . . . . . . . . . . . . 6 Beispiel-Anwendungen . . . . . . . . . . 7 Grundrechnen . . . . . . . . . . . 7 Potenzen . . . . . . . . . . . . 8 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . 8 Primzahlen . . . . . . . . . . . 8 Teiler . . . . . . . . . . . . . 9 Vielfache . . . . . . . . . . . . 9 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . 10 Perioden . . . . . . . . . . . . 10 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . 10 Menstruktur im berblick . . . . . . . . 11 Grundrechnen . . . . . . . . . . . . 12 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . 13 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . 14 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . 15 Teiler . . . . . . . . . . . . . . 16 Vielfache . . . . . . . . . . . . . 18 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . 19 Periodische Dezimalbrche . . . . . . . . 21 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . 21 ( 2 ) ------------------------------------------------------------------ K U R Z I N F O ------------------------------------------------------------------ M A T H E 1 ist ein Lern - / Trainingsprogramm fr den Einsatz in der Schule und im Elternhaus. Das Programm umfat die Arithmetik der 5./6. Klasse und orientiert sich an den Lehrbchern dieser Jahrgangsstufen mit folgenden Hauptauswahl - Punkten: ͻ Grundrechnen Primzahlen Bruchrechnen Potenzen Teiler Perioden Zahlensysteme Vielfache Wahrscheinlichkeit ͼ Die Anwender von M A T H E 1 sind insbesondere Lehrer, Schler ( und deren Eltern ) aller Schulformen etwa von der 4-ten bis zur 8-ten Klasse, aber auch zur Nachhilfe darber hinaus. Ein besonderes >> Plus<< von M A T H E 1 ist das reichhaltige Angebot an sinnvollen Trainings - Aufgaben zu allen wichtigen Themenbereichen der Unterstufen- Mathematik. Die Strke des Programms liegt in der wohlberlegten Konstruktion und Erzeug- ung der Aufgaben verbunden mit einer Motivation frdernden, sehr przisen Leistungskontrolle und einer uerst lehrernahen Ab- schlubewertung. Speziell hervorzuheben sind auch die vielfltigen Simulations - und Spielmglichkeiten unter dem Auswahlpunkt: Wahrscheinlichkeit. M A T H E 1 ist direkt vom Fachmann entwickelt und entspricht in seiner Konzeption dem aktuellen Stand der Mathematik-Didaktik. Das Programm wurde bereits whrend der Entwicklung ber mehrere Jahre im Unterricht erprobt und hat bei allen beteiligten Schlern effektiv zur Steigerung der Rechenfertigkeit gefhrt. M A T H E 1 ist der ideale Trainer vor Klassenarbeiten und ein unermdlicher Partner in Nachhilfefllen. Das Programm lt sich altersgerecht ohne Computerkenntnisse sofort benutzen. Die registrierte Vollversion kostet nur 35.- DM. ------------------------------------------------------------------ H I N W E I S E zur S H A R E W A R E ------------------------------------------------------------------ Diese Ihnen vorliegende Prfversion von M A T H E 1 wird nach dem SHAREWARE-KONZEPT vertrieben. Das Programm und diese Dokumen- tation drfen Sie nach Belieben kopieren und kostenfrei an andere Interessenten weitergeben - vorausgesetzt, Sie lassen alles in un- vernderter Form. Falls M A T H E 1 Ihren Vorstellungen von einem guten Lernpro- gramm entspricht und Sie Gefallen an seinen vielfltigen Einsatz- mglichkeiten gefunden haben, wre es an der Zeit ( sptestens 30 Tage nach erstem Gebrauch ), sich als regelmiger Benutzer regi- strieren zu lassen. Dies ist schlicht ein Gebot der Fairness (!) und auch Ihres Ansehens. Nur so erhalten Sie auch weiterhin die Chance, gute Software zum gnstigen Preis zu bekommen. ( 3 ) ------------------------------------------------------------------ V O L L V E R S I O N ------------------------------------------------------------------ Bestellen Sie die VOLLVERSION von M A T H E 1 ohne die lstigen Registrierungs-Aufforderungen auf dem ausgedruckten Formular, das Sie als Text-Datei auf der Diskette vorfinden. Von der Betriebs- systemebene erfolgt der Ausdruck einfach mit dem Befehl: A:> DRUCKE FORM < Der wirklich gnstige Preis fr die Vollversion betrgt als * EINZEL-LIZENZ . . . . . . . . . . . . . . . . DM 35,- ** ZEHNFACH-LIZENZ ( fr Schulen ) . . . . . . . DM 85,- Bedenken Sie: Wann immer Sie diese Shareware erhalten haben, die aktuelle Vollversion ist bereits in der Fortentwicklung ein gutes Stck weiter gediehen. Auer dem Wegfall von Einblendungen erhalten Sie garantiert ein verbessertes Programm. Merke: Die aktuelle Vollversion lt jede Shareversion ziemlich alt aussehen! Die Lizenzgebhr soll sich schlielich lohnen. Nur durch eine Registrierung bleiben Sie auf dem neuesten Stand. Im Preis inbegriffen sind folgende Leistungen : - Programmdiskette in aktueller Lizenzversion ( V 2.7 ab 1.2.93) - Ausdruckbare Anleitung mit didaktischen Hinweisen auf Diskette - Updates zu Vorzugsbedingungen ( Benachrichtigung erfolgt ) Die registrierte Vollversion von M A T H E 1 ist bei Einzel- lizenz nur zu Ihrem persnlichen Gebrauch bestimmt und darf nicht an Dritte weitergegeben werden. Disketten-Kopien sind nur im Umfang der notwendigen Datensicherung anzulegen. Paralleler Einsatz des Programms auf mehreren Rechnern ( z.B. fr Unterrichtszwecke ) ist nur bei Mehrfach - Lizenz erlaubt. Der Geltungsbereich der Mehrfachlizenz erstreckt sich nur auf die Schulungs-Rechner und kann nicht auf den privaten Nutzungsbereich bertragen werden. HINWEIS: Da der Programmumfang von M A T H E 1 stndig erweitert wird (z.B. mit Kettenbrchen und weiteren Trainingsmodulen ), gilt der uerst gnstige Preis vorerst bis zum 30. 9. 1993. Zum Vergleich: Was kostet eine einzige Nachhilfestunde ? ( 4 ) ------------------------------------------------------------------ I N S T A L L A T I O N ------------------------------------------------------------------ M A T H E 1 luft auf jedem IBM-kompatiblen PC/XT/AT mit belie- biger Grafikkarte und einem Diskettenlaufwerk und MS-DOS ab Version 2.x Die Diskette sollte folgende Dateien enthalten: MATHE1.EXE 177056 Bytes -> Programm-Code MANUAL.TXT -> Lesen Sie gerade FORMULAR.TXT -> Bestellschein DRUCKE.BAT -> Druckt Manual LESEN.BAT -> Zum Lesen des Manuals M1.BAT -> Programm-Start-Datei LIST.COM -> Hilfsprogramm zum Lesen Auf jeden Fall sollten Sie als erstes eine Sicherheitskopie der Programmdiskette anfertigen. Dazu legen Sie die Originaldiskette in Laufwerk A: und geben das Kommando: diskcopy A: A: < Eine besondere Installation von M A T H E 1 ist nicht ntig, denn das Programm kann direkt von der Diskette gestartet werden mit dem Kommando: A:> MATHE1 < oder kurz: A:> M1 < Mit der Programmdiskette in Laufwerk A: und den folgenden Kommandos knnen Sie M A T H E 1 auch auf der Festplatte im Verzeichnis M1 installieren: C:> md M1 < C:> cd M1 < C:\M1> copy A: *.* < Danach starten Sie das Programm mit: C:\M1> MATHE1 < oder kurz: C:\M1> M1 < HAFTUNGSAUSSCHLUSS: Eine Haftung jeglicher Art ist ausgeschlossen und eine Gewhr fr die Erreichung eines bestimmten Ver- wendungszwecks kann nicht bernommen werden. Durch die Nutzung des Programms erklrt der Anwender sein Einver- stndnis mit o.g. Haftungsausschlu. ( 5 ) ------------------------------------------------------------------ P R O G R A M M - P H I L O S O P H I E ------------------------------------------------------------------ Das Programm M A T H E 1 wurde mit dem Ziel entwickelt, als Lern- und Lehrhilfe gleichermaen fr Schler und Lehrer den Mathematikunterricht in der ERPROBUNGSSTUFE ( 5. / 6. Klasse ) zu untersttzen. Jeder wichtige Bereich der Arithmetik dieser Klassenstufen sollte in M A T H E 1 nach didaktischen Gesichts- punkten schlergerecht dargestellt werden. Das Programm soll keinen Lehrer ersetzen, sondern es dient zum Simulieren, Demonstrieren und ben. Speziell im Trainingsangebot liegt das besondere >>Plus<< von M A T H E 1. Hier wird Rechnen zum Spa : Der Computer stellt immer wieder neue Aufgaben ( nach vorherigen individuellen Einstellungen ) und bewertet die Lsungen des Lernenden nach dem blichen Notenschema von " sehr gut " bis " ungengend " bzgl. Richtigkeit, Bearbeitungs- zeit und Schwierigkeitsgrad. Auch die Notentendenz ("plus" zeigt zur besseren Note, "minus" zur schlechteren ) wird bercksichtigt. Die Beurteilungskriterien basieren auf der langjhrigen Unter- richtspraxis des Autors und sind durch vielfltige Tests im Klasseneinsatz abgesichert. M A T H E 1 ist im bungsbereich jedem herkmmlichen Schulbuch oder jeder sonstigen Lernhilfe bei weitem berlegen. Es schafft spielend ( im wahrsten Sinne des Wortes ) die ntige Motivation und garantiert objektive und unbestechliche Kontrolle.Die Strkung der allgemeinen Rechenfertigkeit gehrt zu den grundlegenden Bil- dungsaufgaben und ist das erklrte Ziel der vorliegenden Software. Kurz : M A T H E 1 macht Schlu mit der " Fnf in Mathematik " ! Deshalb gehrt M A T H E 1 in die Programmsammlung eines jeden Schlers, ob nun zum tglichen Training oder zur Vorbereitung auf die nchste Klassenarbeit, ob in der Schule oder zu Hause. Auch der fortschrittliche Lehrer hat seine helle Freude an der Viel- zahl guter Programmideen. Auf oberflchlichen Schnickschnack wurde bewut verzichtet. Die funktionelle Gestaltung sollte einfach und berschaubar sein. Die Bedienungstasten sind in erster Linie die folgenden: , <1>, <2>, . . . ,<9>, <0>, , , , , . Die Beschrnkung auf wenige Tasten bedeutet, da der Schler keine lange Einfhrung in die Programmbedienung bentigt, sondern gleich mit dem Rechnen beginnen kann. Auerdem soll er alles wie auf einer Tafel berblicken knnen. Die Einfachheit der gestalterisch- en Stilmittel frdert die Konzentration auf das Wesentliche. Kurz : M A T H E 1 ist nicht verspielt, aber spielend leicht ! ( 6 ) ------------------------------------------------------------------ P R O G R A M M - B E D I E N U N G ------------------------------------------------------------------ Die Bedienung von M A T H E 1 ist kinderleicht ( selbst Grund- schler kommen auf Anhieb damit zurecht ! ). Der Benutzer wird mit Hilfe vorgegebener Auswahllisten ( Mens ) durch das Programm gefhrt; Bedienungs- und Eingabefehler werden abgefangen. Eine zustzliche Hilfe ist berflssig, denn alles wird direkt am Bildschirm erklrt. Der Bildschirmaufbau besteht aus 3 festen Bereichen. In der Kopf- zeile steht der aktuell gewhlte Menpunkt und - falls mglich - der Hinweis " = Zurck" zum Verlassen desselben. In der Fuzeile befinden sich jeweils aktuelle Eingabe-Kommandos. Die Bildschirmmitte umfat das eigentliche Rechenfeld. Hier wird ge- rechnet wie an der Tafel. Bei den Trainingseinheiten in der Regel so lange, bis die Tafel ( hier das Rechenfeld ) voll ist, so bleibt die Gesamtleistung - ob positiv oder negativ - stets im Blickfeld und kann am Schlu mit der Bewertung im Notenfenster verglichen werden. Beim Trainingsablauf bietet M A T H E 1 noch ein weiteres >> Plus << : Zwischenzeitlicher Ausstieg oder Abbruch auf halber Strecke - vielleicht nach erstem Mierfolg - ist nicht mglich, gekmpft wird bis zum Schlu - Ehrensache ! Auerdem gibt es fr Nachzgler eine Zeitstrafe - genau wie beim sportlichen Wettkampf - und das Startkommando fr jede Trainingsrunde lautet natrlich : A c h t u n g , f e r t i g , l o s . . . ------------------------------------------------------------------ E I N S T I E G ------------------------------------------------------------------ Nach Programmstart meldet sich M A T H E 1 mit einem Begrungs- schirm, dann erscheint auf Tastendruck das Haupt-Men mit allen Auswahlpunkten. Diese entsprechen den Kapiteln eines Schulbuches im Bereich der Unterstufen-Mathematik. Auf den folgenden Seiten finden Sie einen b e r b l i c k und detaillierte Ausfhrungen zu allen Men-Punkten. Durch Drcken einer Zifferntaste gelangt man nun zum Unter-Men des Auswahlpunktes, entsprechend den Paragraphen eines Kapitels. Nochmaliges Drcken einer Zifferntaste gibt den Arbeitsbildschirm frei. Jetzt folgt man den jeweiligen Anweisungen am Bildschirm. Die Korrektur einer Eingabe von Zahlen im Arbeitsbildschirm er- folgt grundstzlich mit der Lschtaste [<-Del]. Sie verlassen den Arbeitsbildschirm immer mit der - Taste, falls diese am oberen rechten Bildschirmrand eingeblendet ist (z.B. erst nach vollstndigem Durchlauf einer Trainingsrunde ), und ge- langen so zur vorherigen Men-Auswahl. Hier knnen Sie mit einer neuen Auswahl das Programm fortsetzen. Wenn Sie M A T H E 1 beenden wollen, so benutzen Sie wieder die - Taste bis zur letzten Sicherheitsabfrage und geben dann fr Beenden 'JA' oder fr Beenden 'NEIN' ein. Bei startet das Programm von vorne. ( 7 ) ------------------------------------------------------------------ B E I S P I E L - A N W E N D U N G E N ------------------------------------------------------------------ G r u n d r e c h n e n - T r a i n i n g -------------------------------------------- Die Auswahl <1> <3> fhrt zum Einmaleins-Training. Bei Schwierig- keitsstufe 1 liegen die Aufgaben im Bereich des "kleinen" Einmal- eins, bei 3 wird das "groe" Einmaleins verlangt und 2 liegt dazwischen. Die Auswahl <1> <2> fhrt zum Training von Rechenketten. Zuerst legt man die Grenzen fr die Aufgabenkonstruktion fest. Plus/Minus: z.B. 50 und Mal/Durch: z.B. 12 , Kettenlnge: z.B. 4. Wenn man ein falsches Ergebnis eingibt, so werden die Zwischenschritte zur Kontrolle eingeblendet. Die Auswahl <1> <5> fhrt zum Training der schriftlichen Addition. Als Voreinstellung zur Aufgabenkonstruktion whlt man zum Beispiel 3 Summanden und Schwierigkeitsstufe 3. Die Eingabe der einzelnen Stellen erfolgt ohne , erst zum Abschlu der Berechnung mu die - Taste gedrckt werden. Wie blich kann man seine Ein- gabe mit der Lschtaste korrigieren. Die Auswahl <1> <7> fhrt zum Training der schriftlichen Multi- plikation. Als Voreinstellung zur Aufgabenkonstruktion whlt man z.B. fr den 1. Faktor 4 und den 2. Faktor 2 Stellen. Die Rechnung beginnt unter der letzten Stelle des 1. Faktors mit der 1. Stelle des zweiten Faktors. Die Eingabe erfolgt stellenweise ohne , erst zum Abschlu einer Zeile mu die - Taste gedrckt werden. Wie blich kann man seine Eingabe mit der Lsch- taste korrigieren. Beispiel: 1 2 3 4 * 5 6 --------- 6 1 7 0 7 4 0 4 --------- 6 9 1 0 4 Die Auswahl <1> <8> fhrt zum Training der schriftlichen Division. Als Voreinstellung zur Aufgabenkonstruktion whlt man z.B. fr den Divisor ( der steht hinten ) 2 und fr den Dividend ( der steht vorne ) 4 Stellen. Der Quotient einer Divisionsaufgaben wird dann Stelle fr Stelle ermittelt. Anschlieend den Rest bestimmen und die nchste Stelle herunterholen. Durch wird die jewei- lige Bearbeitungsebene abgeschlossen. Beispiel: 1 0 3 5 : 2 3 = 4 5 9 2 ----- 1 1 5 1 1 5 ----- 0 ( 8 ) Die Auswahl <1> <9> fhrt zu einem lehrreichen Spiel um Summen. Der Reiz des Spieles liegt in der einfachen, aber zugleich auch kniffligen Problemstellung: Kann man eine bestimmte Summe mit be- stimmten Zahlen bilden? Ziel des Spieles ist es, sich 36 Versuche lang ber Wasser zu halten ( d.h. einen positiven Punktestand zu haben) um am Ende zum Summen-Knig erklrt zu werden. Man beginne am Anfang mit 6 Zahlen als Risiko. Das Summenspiel entpuppt sich bald als richtiger Familienspa. brigens lassen sich die Computer-Ergebnissen auch hervorragend als Knobelaufgaben verwenden. Also Ratespa ist angesagt! P o t e n z e n ---------------- Die Auswahl <2> <2> fhrt zur Potenzrechnung. Hier hat man die Wahl zwischen Einzelpotenzen <1> und Potenzprodukten <2>. Whle 2 und gib z.B. folgendes ein: 2 < 3 < 3 < 2 < 5 < 2 < 1 < Man erhlt dann die Rechnung: 3 2 2 2 * 3 * 5 = 8 * 9 * 25 = 1800 Die Auswahl <2> <1> ermglicht die Auflistung von Potenztabellen. Man hat die Wahl zwischen fester Basis ( Grundzahl ) mit <1> und festem Exponenten ( Hochzahl ) mit <2>. Bei Wahl von <2> und Eingabe: 2 < erhlt man z.B. eine Liste von Quadratzahlen. Bei Wahl von <1> und Eingabe: 3 < erfolgt die Ausgabe der Dreier- potenzen. Z a h l e n s y s t e m e -------------------------- Die Auswahl <3> <1> fhrt zur Umrechnung von Dezimalzahlen in an- dere Zahlensysteme. Whle als Systembasis z.B. 2 und als Dezimal- zahl z.B. 200. Die Auswahl <3> <2> fhrt zur Umrechnung von Systemzahlen in De- zimalzahlen. Whle als Systembasis z.B. 8 und als Systemzahl z.B. 1234567. Die Auswahl <3> <3> fhrt zur Umwandlung von Dezimalzahlen in die rmische Schreibweise. Whle als Beispiel die Zahlen 444 und 8888. Die Auswahl <3> <6> fhrt zum Training der rmischen Zahlen. Beachte die Hinweistafel und beginne mit Stufe 1. P r i m z a h l e n -------------------- Die Auswahl <4> <4> fhrt zum Training der Primfaktorenzerlegung. Jeden eingegebenen Primfaktor mit abschlieen, dann Quo- tienten eingeben, usw. ( 9 ) T e i l e r ------------ Die Auswahl <5> <1> fhrt zur Teilermengen-Berechnung. Z.B. 7560 als Eimgabe liefert 64 Teiler, 764400000 sogar 576 Teiler und 588107520 die stolze Zahl von 1152 Teilern. Die Auswahl <5> <4> fhrt zum Training von Teilermengen. Whle Schwierigkeitsstufe 1. Die Teiler werden paarweise bestimmt in auf- steigender Reihenfolge. Durch Eingabe von <0> wird die Vollstndig- keit besttigt. Die Auswahl <5> <3> fhrt zur Durchfhrung des Euklid-Algorithmus ( ca 300 v. Chr. vom griechischen Mathematiker Euklid angegebenes Verfahren zur Bestimmung des grten gemeinsamen Teilers - GGT - zweier natrlicher Zahlen a und b; das Verfahren wird beendet, so- bald der Rest = 0 auftritt, der letzte von 0 verschiedene Rest ist dann der GGT; das Verfahren ist uerst schnell ). Z.B. Eingabe von a = 2584 und b = 1597 liefert die Berech- nung des GGT in 16 Schritten. Die Auswahl <5> <6> fhrt zum Training der Teilerregeln. Bekannt- lich ist eine natrliche Zahl teilbar durch: 2 bei Endziffer 0 , 2 , 4 , 6 , 8; 5 bei Endziffer 0 , 5; 3 bzw 9 falls ihre Quersumme durch 3 bzw 9 teilbar ist; (z.B. 9 teilt 1234566 , da 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 27) 4 falls das 2-stellige Ende durch 4 teilbar ist; (z.B. 4 teilt 34548 , da 4 die 48 teilt ) 6 falls sie durch 2 und 3 teilbar ist; 11 falls ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. (z.B. 11 teilt 123409 , da 9 + 4 + 2 - 1 - 3 - 0 = 11 ) Die Teiler-Aussagen sind mit fr "Ja" oder fr "Nein" zu markieren. (Die Eingabe erfolgt ohne und ist deshalb nicht zu korrigieren! ) Whle Schwierigkeitsstufe 1. V i e l f a c h e ------------------ Die Auswahl <6> <1> fhrt zur Berechnung von Vielfachmengen. Z.B. Eingabe a = 2 und b = 3 liefert die zugehrigen Vielfachmengen zuzglich ihrer Schnittmenge. Die Schnittmenge untersttzt den kgV - Gedanken. Die Auswahl <6> <3> Training von Vielfachen. Die Element-Aussagen sind mit fr "Ja" oder fr "Nein" zu markieren. ( Die Eingabe erfolgt ohne und ist deshalb nicht zu korrigieren!) Whle Schwierigkeitsstufe 1. Die Auswahl <6> <4> fhrt zum kgV - Training. Die Bildung des kgV ist Grundvoraussetzung fr das Bilden von Hauptnennern beim Bruch- rechnen. Whle Schwierigkeitsstufe 1. ( 10 ) B r u c h r e c h n e n ------------------------ Die Auswahl <7> <2> fhrt zur Berechnung von Kettenbrchen. Whle <1> als Eingabe und gib den Bruch 17711/10946 ein. Die Darstel- lung der Nherungsbrche ermglicht ein optimales "Runden" groer Brche. Zur Vorgabe eines Kettenbruches benutze die Auswahl <2>. Kettenbrche eignen sich ebenso hervorragend als schriftliches Training zur Bruchrechnung; die Kontrolle erfolgt dann mit MATHE1. Die Auswahl <7> <3> fhrt zum umfangreichsten Trainings-Modul Bruchrechnen. Man whle aus dem Men-Angebot einen Trainingsaspekt aus und folge den przisen Anweisungen am Bildschirm. Der Ablauf ist in wohl dosierte Teilschritte gegliedert. Abschlieendes Krzen wird stets durch (J/N) abgefragt. P e r i o d e n ---------------- Die Auswahl <8> <1> fhrt zur Berechnung reinperiodischer Dezimal- brche. Eingabe z. B. 1193. Es macht groen Spa besonders lange Perioden zu suchen. Hilfreich hierbei ist die Auswahl <8> <2>. W a h r s c h e i n l i c h k e i t ------------------------------------ Die Auswahl <9> <2> erffnet im Bereich Wahrscheinlichkeit die Glcksspielbude. Zuerst mu das Glcksrad eingerichtet werden. Die Sektoreinteilung dient als Basis fr die Aufteilung der spteren Glcksfelder. Z.B. nimmt man bei Prozentangaben als Sek- toranzahl am besten 100, bei Gradangaben 360 und bei Promille- genauigkeit 1000. Als Beispiel nehme man 100 und lege die Feld- gren wie folgt fest: FeldNr. Sektoranzahl 1 50 2 25 3 12 4 6 5 4 6 2 7 1 Weiter geht es mit FeldNr. Gewinn 1 0 der Gewinnverteilung: 2 1 3 2 4 3 5 5 6 10 7 50 Bei den finanziellen Konditionen whle man z.B. als Einsatz: 2 DM, Bude: 500 DM und Spieler: 50 DM. Jetzt kann das Glcksspiel beginnen. Durch bettigen der - Taste gibt der Spieler seinen Einsatz und das Glck nimmt seinen Lauf. Nach Abschlu einer Spielrunde erfolgt eine Spielanalyse. Um einen besseren Einblick in die Hufigkeitsverteilung der gezo- genen Feldnummern zu bekommen erscheint ein Balkendiagramm mit der Angabe der theoretischen Wahrscheinlichkeit ( Ideal ) und der tatschlich aufgetretenen relativen Hufigkeit ( relH ). Zum Schlu hat der Benutzer die Mglichkeit an Hand eines Mens die Spielbude an beliebiger Stelle zu wiederholen. ( 11 ) ------------------------------------------------------------------ M E N U E - S t r u k t u r im b e r b l i c k ------------------------------------------------------------------ G R U N D R E C H N E N - T R A I N I N G : - E I N Z E L A U F G A B E N - K E T T E N A U F G A B E N - E I N M A L E I N S - E I N S D U R C H E I N S - SCHRIFTLICHE A D D I T I O N - SCHRIFTLICHE S U B T R A K T I O N - SCHRIFTLICHE M U L T I P L I K A T I O N - SCHRIFTLICHE D I V I S I O N - S U M M E N S P I E L ( in V 2.7 ab 1. 2. 1993 ) P O T E N Z E N - P O T E N Z T A B E L L E - P O T E N Z R E C H N U N G - T R A I N I N G Z A H L E N S Y S T E M E - D E Z I M A L in S Y S T E M Z A H L - S Y S T E M in D E Z I M A L Z A H L - D E Z I M A L in R M I S C H E Z A H L - T R A I N I N G : D E Z in S Y S - T R A I N I N G : S Y S in D E Z - T R A I N I N G : R M in D E Z P R I M Z A H L E N - P R I M Z A H L E N T A B E L L E - P R I M Z A H L E N S I E B von E R A T O S T H E N E S - P R I M F A K T O R Z E R L E G U N G - T R A I N I N G : P R I M - F A K - Z E R L E G U N G T E I L E R - T E I L E R M E N G E - G R S S T E R G E M E I N S A M E R T E I L E R ( G G T ) - E U K L I D - A L G O R I T H M U S - T R A I N I N G : T E I L E R M E N G E - T R A I N I N G : G G T - T R A I N I N G : T E I L E R R E G E L N V I E L F A C H E - V I E L F A C H M E N G E N - K L E I N S T E S G E M E I N S A M E S V I E L F A C H E S ( K G V ) - T R A I N I N G : V I E L F A C H E - T R A I N I N G : K G V B R U C H R E C H N E N - A U T O M A T - K E T T E N B R C H E ( in V 2.7 ab 1. 2. 1993 ) - T R A I N I N G : - A D D I T I O N - S U B T R A K T I O N - M U L T I P L I K A T I O N - D I V I S I O N - G E M I S C H T E Z A H L E N - K R Z E N / E R W E I T E R N - V O L L S T N D I G K R Z E N - D E Z I M A L B R C H E ( 12 ) P E R I O D I S C H E D E Z I M A L B R C H E - P e r i o d e n b e r e c h n u n g - P e r i o d e n l n g e W A H R S C H E I N L I C H K E I T - G l c k s r a d S i m u l a t i o n - G l c k s s p i e l b u d e - G a l t o n b r e t t ------------------------------------------------------------------ >> G R U N D R E C H N E N << ------------------------------------------------------------------ <1> E I N Z E L A U F G A B E N - Trainingspaket von 16 zufllig erdachten vermischten Aufgaben zu den Grundrechenarten wie: 17 + 5 = ? , 9 * 8 = ? , 37 - 19 = ? , 56 / 7 = ? . . . mit variabler Begrenzung des Rechenraume Einstellung/ --> Empfehlung: Hchstrechnung bei Plus/Minus (10..999) --> 20 bzw 50 bzw 100 und Mal/Durch (10..99) --> 10 bzw 12 bzw 20 <2> K E T T E N A U F G A B E N - Trainingspaket von zufllig erdachten Rechenketten vorgebbarer Lnge wie : ((17 + 5) / 2 - 6) * 4 = ? mit variabler Begrenzung des Rechenraumes Einstellung/ --> Empfehlung: Hchstrechnung bei Plus/Minus (10..999) --> 20 bzw 50 bzw 100 Mal/Durch (10..99) --> 10 bzw 12 bzw 20 und Lnge einer Kette (3..8) --> 4 oder 5 <3> E I N M A L E I N S - Trainingspaket von 24 zufllig erdachten Aufgaben zur Multiplikation, einstellbar bis 10x10 oder bis 10x20 oder bis 20x20 Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <4> E I N S D U R C H E I N S - Trainingspaket von 24 zufllig erdachten Aufgaben zur Division, einstellbar bis 100 : 10 oder 200 : 10 oder 400 : 20 Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <5> SCHRIFTLICHE A D D I T I O N - Trainingspaket von zufllig erdachten Additionsaufgaben mit stellengerecht plazierten Summanden bei vorgebbarer Anzahl ( bis 10 ) und Lnge ( bis 8 ) Einstellung/ --> Empfehlung: Summanden (2..10) --> 2 bzw 5 bzw 10 Schwierigkeitsstufe (1..7) --> 3 oder 4 ( 13 ) <6> SCHRIFTLICHE S U B T R A K T I O N - Trainingspaket von zufllig erdachten Subtraktionsauf- gaben mit stellengerecht plazierten Minuenden bei vor- gebbarer Schwierigkeit fr bis zu 8-stellige Zahlen Einstellung/ --> Empfehlung: Schwierigkeitsstufe (1..7) --> 3 oder 4 <7> SCHRIFTLICHE M U L T I P L I K A T I O N - Trainingspaket von zufllig erdachten Multiplikations- aufgaben fr bis zu 5-stellige Faktoren in stellenge- rechter Darstellung Einstellung/ --> Empfehlung: Stellen 1.Faktor (2..5) --> 3 oder 4 Stellen 2.Faktor (1..4) --> 2 oder 3 <8> SCHRIFTLICHE D I V I S I O N - Trainingspaket von zufllig erdachten Divisionsaufgaben bei vorgebbarer Lnge ( Dividend bis 8, Divisor bis 4 ) in stellengerechter Darstellung Einstellung/ --> Empfehlung: Stellen Divisor (1..4) --> 2 oder 3 Stellen Dividend (3..8) --> 5 oder 7 <9> S U M M E N S P I E L ( in V 2.7 ab 1. 2. 1993 ) - Der Computer zeigt bis zu 10 verschiedene zufllige Zahlen zwischen 1 und 100 an. Die Aufgabe des Spielers besteht darin, einen Summenwert anzugeben, der sich nicht aus den gegebenen Zahlen durch Addition bilden lt. Fr jede >> unmgliche << Summe bekommt der Spieler Punkte, fr jede Summendarstellung, die der Computer findet, werden allerdings wieder Punkte abgezogen. Ziel des Spieles ist es, 36 Versuche durchzuhalten und damit Summen-Knig zu werden. ------------------------------------------------------------------ >> P O T E N Z E N << ------------------------------------------------------------------ n Eine Potenz ist ein Produkt aus n Faktoren a, geschrieben: a Der Faktor a heit Basis, seine Anzahl n Exponent. Das ausmultiplizierte Produkt einer Potenz ist der Potenzwert. Potenzen der Basis 2, 3, usw. heien 2er-Potenzen, 3er-Potenzen, usw. Potenzen mit dem Exponenten 2 bzw. 3 heien Quadrat- bzw. Kubik-Zahlen. <1> P O T E N Z T A B E L L E - Berechnung und tabellarische Darstellung von Potenzen zu vorgegebener Basis oder Exponenten Einstellung: <1> Feste Basis (2..9) oder <2> Fester Exponent (2..9) ( 14 ) <2> P O T E N Z R E C H N U N G - zur Berechnung von Einzelpotenzen oder Potenzprodukten Einstellung: <1> Einzelpotenz oder <2> Potenzprodukte <3> T R A I N I N G - Zufallspaket von 16 vermischten Potenzaufgaben in der Fragestellung nach Potenzwert, Basis oder Exponent ------------------------------------------------------------------ >> Z A H L E N S Y S T E M E << ------------------------------------------------------------------ Das gebruchlichste Zahlensystem ist das Dezimalsystem. Der Wert jeder Ziffer einer Zahl hngt von der Stelle ab, an der sie inner- halb der Zahl geschrieben ist. ( Daher Stellenwert oder Positions- system ). Die Stellenwerte sind 10 er Potenzen, d.h. von links nach rechts: 1, 10, 100, 1000, . . . Legt man den Stellenwerten eine andere Basis zugrunde (z.B. 2, 3, 4, . . . ), so spricht man vom 2er-System, 3er-System, 4er-System. Die Stellenwerte entsprechen dann von links nach rechts den Potenz- werten der gewhlten Basis: 2er-System: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512,1024, ... 3er-System: 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 , . . . 4er-System: 1 , 4 , 16 , 64 , 256 , 1024 , . . . 5er-System: 1 , 5 , 25 , 125 , 625 , 3125 , . . . Man beachte, da die hchste Ziffer in einem Stellenwertsystem um 1 kleiner ist als die Basis. So kennt das 2er-System nur die Ziffern 0 und 1 und ist deshalb bestens geeignet zur internen Zahlendarstellung in Computern. Im Gegensatz dazu ist die rmische Zahlenschreibweise kein Stellen- wertsystem, sondern ein Additionssystem. Jede Ziffer hat dort einen festen Wert: M D C L X V I 1000 500 100 50 10 5 1 Der Zahlenwert ergibt sich durch Addition der Ziffernwerte. Dabei ist zu beachten: Steht eines der Zeichen I, X, C v o r seinen beiden nchst- hheren Zeichen, so wird sein Wert von diesem subtrahiert. <1> D E Z I M A L in S Y S T E M Z A H L - Umwandlung von Dezimalzahlen in andere Zahlensysteme der Basis 2 bis 8 mit Darstellung in der Stellentafel Einstellung: Systembasis (2..8) ( 15 ) <2> S Y S T E M in D E Z I M A L Z A H L - Umwandlung von Zahlen anderer Zahlensysteme der Basis 2 bis 8 in Dezimalzahlen mit Darstellung in der Stellen- tafel Einstellung: Systembasis (2..8) <3> D E Z I M A L in R M I S C H E Z A H L - Umwandlung von Dezimalzahlen in die rmische Zahlen- darstellung <4> T R A I N I N G zu D E Z in S Y S - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zu vorgebbarer Basis und Stellenanzahl Einstellung: Systembasis (2..8) und Hchststellenzahl zur Begrenzung der Lnge der Systemzahl <5> T R A I N I N G zu S Y S in D E Z - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zu vorgebbarer Basis und Stellenanzahl Einstellung: Systembasis (2..8) und Hchststellenzahl zur Begrenzung der Lnge der Systemzahl <6> T R A I N I N G R M in D E Z - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben von rmischen Zahlen ins Dezimalsystem Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ------------------------------------------------------------------ >> P R I M Z A H L E N << ------------------------------------------------------------------ Eine natrliche Zahl p heit Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat, nmlich die trivialen Teiler 1 und sich selbst. Die Folge der Primzahlen beginnt mit 2 und ist unendlich lang. Weil jede natrliche Zahl grer als 1 eindeutig als Produkt ihrer Primfaktoren geschrieben werden kann ( wie 60 = 2 * 2 * 3 * 5 ), sind die Primzahlen sowas wie die multiplikativen Bausteine der natrlichen Zahlen. Besonders anschaulich erhlt man eine Tabelle der Primzahlen nach einer Methode, die auf den griechischen Philosophen Eratosthenes (276 bis 195 v.Chr.) zurckgeht. Aus der vollstndigen Zahlenreihe streicht man nacheinander Die Vielfachen von 2 , 3 , 5 usw. Die briggebliebenen Zahlen sind ( da keine Vielfachen ) ausnahms- los prim. ( 16 ) <1> P R I M Z A H L E N T A B E L L E - Berechnung und tabellarische Darstellung von Primzahlen in gewhltem Intervall mit Bestimmung ihrer Anzahl Einstellung: Untergrenze und Obergrenze je 9-stellig <2> P R I M Z A H L E N S I E B von E R A T O S T H E N E S - Darstellung der Siebmethode zur Ermittlung von Prim- zahlen durch schrittweises Lschen von Vielfachen <3> P R I M F A K T O R Z E R L E G U N G - Berechnung der Primfaktoren einer maximal 9-stelligen Zahl und ihre Darstellung in Potenzschreibweise <4> T R A I N I N G zu P R I M - F A K - Z E R L E G U N G - Zufallspaket von 4 Zerlegungsaufgaben in bersichtlichen Teilschritten, einzeln fr jeden Primfaktor ------------------------------------------------------------------ >> T E I L E R << ------------------------------------------------------------------ Eine natrliche Zahl a ist Teiler einer anderen natrlichen Zahl b, wenn die Division b : a glatt aufgeht. Die Zahl b heit dann auch Vielfaches von a. Alle Teiler einer Zahl b bezeichnet man als Teilermenge von b. Zu jedem Teiler a von b gehrt ein Komplementr-Teiler c von b , denn es gilt: b = a * c Die Teilermenge einer Zahl besteht also aus Paaren komplementrer Teiler. Diese Eigenschaft macht man sich beim Aufschreiben der Teilermenge zunutze: T(12) 1 12 2 6 3 4 Hierbei bezeichnet man 1 und 12 als triviales Teilerpaar. Von 1 startend sucht man den nchst greren Teiler mit seinem Partner. Man hat alle Teiler gefunden, wenn zwischen dem letzten Paar kein Teiler mehr existiert. Untersucht man die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b , so bilden diese wiederum eine Teilermenge, nmlich die Teilermenge des sogenannten grten gemeinsamen Teilers ( g g T ) von a und b. Den g g T bentigt man zum vollstndigen Krzen von Brchen und zur raschen Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen. ( 17 ) Wie man den ggT mglichst geschickt bestimmt, zeigt folgende ber- legung: Der ggT von a und b kann nicht grer sein als der Betrag der Differenz von a und b, also: g g T ( a, b ) a - b Beispiel: g g T (56, 70) 70 - 56 = 14 Genaugenommen mu der ggT diese Differenz sogar teilen, d.h. man errechnet den ggT wie folgt: g g T (56, 70) = g g T (56, 70 - 56) = g g T ( 56, 14 ) = 14 Algorithmisiert man diese Methode konsequent, so erhlt man den so- genannten Euklidischen Algorithmus zur GGT-Bestimmung. <1> T E I L E R M E N G E - Berechnung und tabellarische Darstellung der Teilermenge einer maximal 9-stelligen Zahl zzgl. Anzahlbestimmung <2> G R S S T E R G E M E I N S A M E R T E I L E R (GGT) - Berechnung des GGT maximal 9-stelliger Zahlen <3> E U K L I D - A L G O R I T H M U S - schrittweise Darstellung der Division-Rest-Methode zur GGT-Bestimmung und Anzeige der Gesamtschritteanzahl <4> T R A I N I N G zu T E I L E R M E N G E - Zufallspaket von 5 Aufgaben zur vollstndigen tabella- rischen Teilermengenbestimmung Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <5> T R A I N I N G zu G G T - Zufallspaket von 16 Aufgaben zur GGT-Bestimmung Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <6> T R A I N I N G der T E I L E R R E G L N - Zufallspaket von 8 Aufgaben zur Teilbarkeitsbestimmung. Die Test-Teiler: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11 sind vorgegeben und mssen bzgl. der Testzahlen als Teiler oder Nicht- Teiler mit oder markiert werden. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ( 18 ) ------------------------------------------------------------------ >> V I E L F A C H E << ------------------------------------------------------------------ Die Begriffe Vielfaches und Teiler hngen eng miteinander zusammen, denn ist b ein Vielfaches von a ( d.h. b = n * a ), so ist a ein Teiler von b. Alle Vielfachen einer Zahl bilden deren Vielfachmenge. Im Gegensatz zu den endlichen Teilermengen sind Vielfachmengen unendlich. Beispielsweise sind die Vielfachen von 2 alle geraden Zahlen, die Vielfachen von 3 die sogenannte 3er-Reihe. Von besonderer Be- deutung sind nun die Vielfachen, die zwei Zahlen gemeinsam haben, z.B. 6 , 12 , 18,. . . sind gemeinsame Vielfache von 2 und 3. In der Mengensprache bezeichnet man diesen gemeinsamen Teil der Vielfachmenge von 2 und der Vielfachmenge von 3 als Schnittmenge. Hierbei ist das erste Element dieser Schnittmenge genau das kleinste gemeinsame Vielfache ( k g V ) der Ausgangszahlen. Man bentigt das k g V speziell in der Bruchrechnung zur Bildung des Hauptnenners, da man prinzipiell nur nennergleiche Brche addieren kann. Eine simple Methode zur kgV-Bestimmung zweier Zahlen liegt darin, die grere der beiden Zahlen solange zu vervielfachen bis sie die kleinere Zahl als Teiler enthlt. Ein wirkungsvolleres Vorgehen ergibt sich aus der zentralen Beziehung zwischen kgV und ggT : kgV (a, b) * ggT (a, b) = a * b d.h. kgV (a, b) = a : ggT (a, b) * b Man bestimmt also zuerst den ggt beider Zahlen, dividiert damit anschlieend eine der beiden Zahlen und multipliziert das Ergebnis mit der anderen Zahl. Bei teilerfremden Zahlen ( ggT = 1 ) ist also stets kgV (a, b) = a * b. Beispiel: ggT ( 24, 20 ) = 4 und 24 : 4 = 6 kgV ( 24, 20 ) = 6 * 20 = 120 Diese Methode ist wesentlich schneller als der umstndliche Gang ber die Primfaktorzerlegung, denn bei zweistelligen Zahlen ist der ggT mit der Differenzen-Methode in der Regel schnell zu erkennen. <1> V I E L F A C H M E N G E N - Berechnung und Darstellung je zweier Vielfachmengen mit ihrer Schnittmenge <2> K L E I N S T E S G E M E I N S A M E S V I E L F A C H E S ( K G V ) - Berechnung des KGV maximal 9-stelliger Zahlen ( 19 ) <3> T R A I N I N G zu V I E L F A C H M E N G E N - Zufallspaket von 24 Aufgaben zu Vielfachmengen in Form von Element- bzw. Nichtelement-Aussagen. Diese sind mit oder zu markieren. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <4> T R A I N I N G zum K G V - Zufallspaket von 16 Aufgaben zur KGV-Bestimmung Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ------------------------------------------------------------------ >> B R U C H R E C H N E N << ------------------------------------------------------------------ K e t t e n b r c h e ( in V 2.7 ab 1. 2. 1993 ) ------------------------ Ein Bruch wie 37/11 lt sich nicht mehr krzen. Sucht man nun nach einem Bruch mit kleinerem Zhler und Nenner, der sich mglichst wenig von 37/11 unterscheidet, so findet man solche Nherungs- brche mit Hilfe sogenannter K e t t e n b r c h e: 37 1 1 1 = 3 + = 3 + = 3 + 11 11 1 1 2 + 2 + 4 4 1 1 + 3 3 Man schreibt abkrzend: 37 / 11 = [ 3, 2, 1, 3 ] und be- zeichnet dies als Kettenbruch-Darstellung von 37/11. Die Kettenbruchdarstellung verluft nach folgendem: E n t w i c k l u n g s - S c h e m a Gegebener Bruch: Z / N > ganzzahligen Summanden G abspalten: Z/N = G + R Falls der Rest R kein Stammbruch ist, wiederhole den Vorgang mit dem Kehrbruch: 1/R =: Z/N sonst ist die Entwicklung beendet. Im brigen entspricht die Entwicklung den Faktoren im Euklidischen Algorithmus: Ŀ 37 = 3 * 11 + 4 11 = 2 * 4 + 3 4 = 1 * 3 + 1 3 = 3 * 1 + 0 Die besondere Bedeutung der Kettenbrche liegt wie schon gesagt im Nherungsverhalten der Teilbrche. Die Annherung erfolgt ab- wechselnd von unten und oben mit wachsender Genauigkeit. Der Fehler ist kleiner als der Kehrbruch des Nenners vom Nherungsbruch zum Quadrat: N h e r u n g s b r c h e mit F e h l e r [ 3 , 2 , 1 , 3 ] 37/11 3/1 7/2 10/3 37/11 Fehler < 1/1 1/4 1/9 ( 20 ) Die Kettenbruch-Entwicklung eignet sich hervorragend als schrift- liches Training zur Bruchrechnung. Man gebe einen Bruch vor und lasse ihn in einen Kettenbruch entwickeln bzw umgekehrt zu einer Kettenbruchdarstellung den zugehrigen Bruch bilden. Die Kontrolle erfolgt dann mit MATHE1. Praktische Anwendung finden Kettenbrche bei technischen Problemen wie bspw. der Realisierung eines bersetzungs-Verhltnisses von 8250 : 6439 mittels Zahnrder. Beste Nherungen nach der Ketten- bruchentwicklung sind 41 : 32 oder 9 : 7. <1> A U T O M A T - fr Grundrechnungen mit Brchen einschlielich Krzungsautomatik und beliebig langen Rechenketten <2> K E T T E N B R C H E ( in V 2.7 ab 1. 2. 1993 ) - Berechnung und Darstellung von Kettenbrchen einschlie- lich ihrer Nherungsbrche bei Eingabe von gewhnlichen Brchen <1> oder deren Kettenbruch-Darstellung <2> <3> T R A I N I N G - zur Bruchrechnung mit Schwierigkeitsstufe (1..3) in allen Auswahlpunkten: <1> A D D I T I O N - Trainingspaket von 8 zufllig erdachten Aufgaben zur Addition ungleichnamiger Brche mit vielfacher Krzungsmglichkeit <2> S U B T R A K T I O N - Trainingspaket von 8 zufllig erdachten Aufgaben zur Subtraktion ungleichnamiger Brche mit viel- facher Krzungsmglichkeit <3> M U L T I P L I K A T I O N - Trainingspaket von 8 zufllig erdachten Aufgaben zur Multiplikation von Brchen mit vielfacher Krzungsmglichkeit <4> D I V I S I O N - Trainingspaket von 8 zufllig erdachten Aufgaben zur Division von Brchen und ganzen Zahlen mit vielfacher Krzungsmglichkeit <5> G E M I S C H T E Z A H L E N - Trainingspaket von 8 zufllig erdachten Aufgaben zur Umwandlung von unechten Brchen in gemischte Zahlen und umgekehrt <6> K R Z E N / E R W E I T E R N - Trainingspaket von 12 zufllig erdachten Aufgaben zum Erweitern und Krzen von Brchen auf einen vorgegebenen Zhler oder Nenner <7> V O L L S T N D I G K R Z E N - Trainingspaket von 8 zufllig erdachten Aufgaben zum Krzen von Brchen bis zur Grunddarstellung auch in mehreren Teilschritten ( 21 ) <8> D E Z I M A L B R C H E - Trainingspaket von 12 zufllig erdachten Aufgaben zur Umwandlung von geeigneten Brchen in Dezimal- schreibweise ------------------------------------------------------------------ >> P E R I O D E N << ------------------------------------------------------------------ Jeder Bruch, dessen Nenner aus einer 10er-Potenz besteht, heit Dezimalbruch und lt sich mit Komma und endlich vielen Dezimalen schreiben. Eine derartige Darstellung ist nicht mehr mglich, wenn der Nenner des gekrzten Bruches andere Primfaktoren als 2 und 5 enthlt. Dividiert man den Zhler z durch den Nenner n , so entsteht in diesem Falle ein nichtabbrechender Dezimalbruch. Da jedoch die Reste bei einer Division stets kleiner als der Divisor n sein mssen, wiederholen sich die Reste sptestens nach n-1 Divisionen, d.h. der unendliche Dezimalbruch ist periodisch. Beginnt die Periode gleich nach dem Komma, so bezeichnet man den Dezimalbruch als reinperiodisch. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn der Nenner weder 2 noch 5 als Primfaktor enthlt. Falls der Nenner neben anderen auch die Primfaktoren 2 oder 5 enthlt, so stehen zwischen Komma und dem periodischen Ziffernblock noch weitere Ziffern. Solche Dezimalbrche heien deshalb gemischt- periodisch. <1> P e r i o d e n b e r e c h n u n g - Berechnung und Darstellung beliebig langer Perioden zuzglich der Angabe ihrer Lnge <2> P e r i o d e n l n g e - tabellarische Auflistung derjenigen Zahlen in einem Intervall, deren Periodenlnge maximal ist ( d.h. alle theoretisch denkbaren Reste werden tatschlich durch- laufen ) ------------------------------------------------------------------ >> W A H R S C H E I N L I C H K E I T << ------------------------------------------------------------------ Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befat sich mit der Aufdeckung der Gesetzmigkeiten von zuflligen Ereignissen (wie ein "Pasch" beim Wrfeln, "6 Richtige" im Lotto, "Kopf" oder "Zahl" ). Diese Gestz- migkeiten treten allerdings nur zutage bei hinreichend hufiger Wiederholung solcher Zufallsexperimente. Tritt ein zuflliges Ereignis E bei n-facher Wiederholung k-mal ein, so bezeichnet man den Quotienten k/n als relative Hufigkeit von E. ( 22 ) Das Gesetz der groen Zahlen besagt nun, da fr hinreichend groe n die relative Hufigkeit eines zuflligen Ereignisses E sehr nahe an die Wahrscheinlichkeit von E rckt. Der Computer ist nun ein besonders geeignetes Hilfsmittel, um ein Zufallsexperiment hinreichend oft zu simulieren und die relativen Hufigkeiten festzustellen. <1> G l c k s r a d S i m u l a t i o n - Einrichten eines Glcksrades mit bis zu 24 Feldern in variabler Feineinteilung ( bis in den Promille-Bereich ) zur Simulation aller gngigen Modelle ( Mnze, Wrfel, Urne etc. ) und Simulation der Drehvorgnge. Das Ergebnis wird bersichtlich in einem Balkendiagramm dargeboten und ermglicht Untersuchungen zum Gesetz der groen Zahlen: Die relativen Hufigkeiten werden mit den theoretischen Idealwerten verglichen. <2> G l c k s s p i e l b u d e - In einer Spielbude steht ein Glcksrad und zieht die Be- sucher durch die Chance zum Gewinn von lukrativen Geld- preisen magisch an. Der Spieleinsatz ist klein und die Gewinne sind vielfltig verteilt. Wer wird da eigentlich reich? Der Spieler oder der Budenbesitzer? Dieses aufwendig konzipierte Programm-Modul ermglicht eine sehr offen gehaltene vielschichtige und kreative Untersuchung der Glcksspielproblematik. <3> G a l t o n b r e t t - Simulation des bekannten Galtonschen Nagelbrettes mit bis zu 16 Nagelreihen und maximal 20 000 Durchlufen. Das Ergebnis wird bersichtlich in einem Balkendiagramm dargeboten. ****************************************************************** E N D E D E R D O K U M E N T A T I O N ******************************************************************