Это окно появляется при выборе пункта меню «Завершение работы» из основного меню программы, в том случае, если установлен соответствующий флажок.
В принципе, реально редко возникает необходимость вручную завершать работу программы, так как Mail Checker практически не занимает ресурсов компьютера. Если у Вас постоянное подключение, то, если Вы не хотите, чтобы Mail Checker проверял почту, просто приостановите проверку с помощью команды основного меню «Приостановить». Если же у вас Dialup-соединение (по телефонной линии), то Вы можете так настроить Mail Checker, что он будет автоматически запускаться при установке соединения и выгружаться при завершении.
Подробнее об это см. в комментариях ко вкладке «Общие» диалогового окна «Настройки G&I Mail Checker».